Binomialtabelle für n = 10 und n = 11

Von allen diskret Zufallsvariablen, eine der wichtigsten aufgrund ihrer Anwendungen, ist eine binomische Zufallsvariable. Die Binomialverteilung, die die Wahrscheinlichkeiten für die Werte dieses Variablentyps angibt, wird vollständig durch zwei Parameter bestimmt: n und p. Hier n ist die Anzahl der Versuche und p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit dieses Versuchs. Die folgenden Tabellen sind für n = 10 und 11. Die Wahrscheinlichkeiten in jedem werden auf drei Dezimalstellen gerundet.

Wir sollten immer fragen wenn eine Binomialverteilung verwendet werden soll. Um eine Binomialverteilung zu verwenden, sollten wir überprüfen, ob die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Wir haben eine begrenzte Anzahl von Beobachtungen oder Versuchen.
2. Das Ergebnis des Unterrichtsversuchs kann entweder als Erfolg oder als Misserfolg eingestuft werden.
3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt konstant.
4. Die Beobachtungen sind unabhängig voneinander.

Das Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von r Erfolge in einem Experiment mit insgesamt

Die Tabelle ist nach den Werten von geordnet p und von r. Für jeden Wert von gibt es eine andere Tabelle n.

Für andere Binomialverteilungstabellen haben wir n = 2 bis 6, n = 7 bis 9. Für Situationen, in denen np und n(1 - p) größer oder gleich 10 sind, können wir die verwenden normale Annäherung an die Binomialverteilung. In diesem Fall ist die Approximation sehr gut und erfordert keine Berechnung der Binomialkoeffizienten. Dies bietet einen großen Vorteil, da diese Binomialberechnungen sehr aufwändig sein können.

Das folgende Beispiel aus Genetik wird veranschaulichen, wie die Tabelle verwendet wird. Angenommen, wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nachwuchs zwei Kopien eines rezessiven Gens erbt (und daher das rezessive Merkmal erhält), 1/4 beträgt.

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine bestimmte Anzahl von Kindern in einer zehnköpfigen Familie dieses Merkmal besitzt. Lassen X. sei die Anzahl der Kinder mit diesem Merkmal. Wir schauen uns den Tisch an n = 10 und die Spalte mit p = 0,25 und siehe folgende Spalte:

.056, .188, .282, .250, .146, .058, .016, .003

Dies bedeutet für unser Beispiel, dass

• P (X = 0) = 5,6%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass keines der Kinder das rezessive Merkmal hat.
• P (X = 1) = 18,8%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass eines der Kinder das rezessive Merkmal hat.
• P (X = 2) = 28,2%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei der Kinder das rezessive Merkmal haben.
• P (X = 3) = 25,0%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass drei der Kinder das rezessive Merkmal haben.
• P (X = 4) = 14,6%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass vier der Kinder das rezessive Merkmal haben.
• P (X = 5) = 5,8%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass fünf der Kinder das rezessive Merkmal haben.
• P (X = 6) = 1,6%, was der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass sechs der Kinder das rezessive Merkmal haben.
• P (X = 7) = 0,3%, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass sieben der Kinder das rezessive Merkmal haben.

n = 10

n = 11