Markovs Ungleichung ist ein hilfreiches Ergebnis der Wahrscheinlichkeit, das Informationen über a liefert Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das Bemerkenswerte daran ist, dass die Ungleichung für jede Verteilung mit positiven Werten gilt, unabhängig davon, welche anderen Merkmale sie aufweist. Markovs Ungleichung gibt eine Obergrenze für den Prozentsatz der Verteilung an, der über einem bestimmten Wert liegt.
Erklärung der Markovschen Ungleichung
Markovs Ungleichung besagt dies für eine positive Zufallsvariable X. und jedes positive reelle Zahlein, die Wahrscheinlichkeit, dass X. ist größer oder gleich ein ist kleiner oder gleich dem erwarteter Wert von X. geteilt durch ein.
Die obige Beschreibung kann unter Verwendung der mathematischen Notation prägnanter angegeben werden. In Symbolen schreiben wir Markovs Ungleichung wie folgt:
P. (X. ≥ ein) ≤ E.( X.) /ein
Illustration der Ungleichung
Nehmen wir zur Veranschaulichung der Ungleichung an, wir haben eine Verteilung mit nichtnegativen Werten (z. B. a
Chi-Quadrat-Verteilung). Wenn diese Zufallsvariable X. hat einen erwarteten Wert von 3, werden wir die Wahrscheinlichkeiten für einige Werte von betrachten ein.- Zum ein = 10 Markovs Ungleichung sagt das aus P. (X. ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 30%, dass X. ist größer als 10.
- Zum ein = 30 Markovs Ungleichung sagt das aus P. (X. ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 10%, dass X. ist größer als 30.
- Zum ein = 3 Markovs Ungleichung sagt das aus P. (X. ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 = 100% sind sicher. Dies besagt also, dass ein Wert der Zufallsvariablen größer oder gleich 3 ist. Dies sollte nicht zu überraschend sein. Wenn alle Werte von X. kleiner als 3 wäre, wäre der erwartete Wert ebenfalls kleiner als 3.
- Als Wert von ein erhöht sich der Quotient E.(X.) /ein wird immer kleiner. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür sehr gering ist X. ist sehr, sehr groß. Auch bei einem erwarteten Wert von 3 würden wir nicht erwarten, dass ein Großteil der Verteilung mit sehr großen Werten erfolgt.
Verwendung der Ungleichung
Wenn wir mehr über die Verteilung wissen, mit der wir arbeiten, können wir normalerweise Markovs Ungleichung verbessern. Der Wert der Verwendung ist, dass es für jede Verteilung mit nichtnegativen Werten gilt.
Zum Beispiel, wenn wir die mittlere Größe der Schüler einer Grundschule kennen. Markovs Ungleichung sagt uns, dass nicht mehr als ein Sechstel der Schüler eine Größe haben kann, die größer als das Sechsfache der mittleren Größe ist.
Die andere Hauptverwendung von Markovs Ungleichung ist der Beweis Chebyshevs Ungleichung. Diese Tatsache führt dazu, dass der Name "Chebyshevs Ungleichung" auch auf Markovs Ungleichung angewendet wird. Die Verwirrung bei der Benennung der Ungleichungen ist auch auf historische Umstände zurückzuführen. Andrey Markov war der Schüler von Pafnuty Chebyshev. Chebyshevs Arbeit enthält die Ungleichung, die Markov zugeschrieben wird.