Wahrscheinlichkeit der zufälligen Auswahl einer Primzahl

Die Zahlentheorie ist ein Zweig von Mathematik das betrifft sich mit der Menge der ganzen Zahlen. Wir beschränken uns dadurch etwas, da wir andere Zahlen wie Irrationale nicht direkt untersuchen. Andere Arten von reale Nummern werden verwendet. Darüber hinaus hat das Thema Wahrscheinlichkeit viele Verbindungen und Schnittpunkte mit der Zahlentheorie. Eine dieser Verbindungen hat mit der Verteilung von zu tun Primzahlen. Insbesondere können wir fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine zufällig ausgewählte Ganzzahl von 1 bis x ist eine Primzahl?

Annahmen und Definitionen

Wie bei jedem mathematischen Problem ist es wichtig, nicht nur zu verstehen, welche Annahmen getroffen werden, sondern auch die Definitionen aller Schlüsselbegriffe des Problems. Für dieses Problem betrachten wir die positiven ganzen Zahlen, dh die ganzen Zahlen 1, 2, 3... bis zu einer gewissen Anzahl x. Wir wählen zufällig eine dieser Zahlen aus, was bedeutet, dass alle x von ihnen werden ebenso wahrscheinlich gewählt.

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Wir versuchen die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der eine Primzahl gewählt wird. Daher müssen wir die Definition einer Primzahl verstehen. Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl, die genau zwei Faktoren hat. Dies bedeutet, dass die einzigen Teiler von Primzahlen eins und die Zahl selbst sind. 2,3 und 5 sind also Primzahlen, aber 4, 8 und 12 sind keine Primzahlen. Wir stellen fest, dass die Zahl 1 ist, weil eine Primzahl zwei Faktoren enthalten muss nicht Prime.

Lösung für niedrige Zahlen

Die Lösung für dieses Problem ist für niedrige Zahlen unkompliziert x. Alles, was wir tun müssen, ist einfach die Anzahl der Primzahlen zu zählen, die kleiner oder gleich sind x. Wir teilen die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x durch die Nummer x.

Um beispielsweise die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass eine Primzahl von 1 bis 10 ausgewählt wird, müssen wir die Anzahl der Primzahlen von 1 bis 10 durch 10 teilen. Die Zahlen 2, 3, 5, 7 sind Primzahlen, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl ausgewählt wird, 4/10 = 40%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl von 1 bis 50 ausgewählt wird, kann auf ähnliche Weise ermittelt werden. Die Primzahlen, die kleiner als 50 sind, sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Es gibt 15 Primzahlen kleiner oder gleich 50. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl zufällig ausgewählt wird, 15/50 = 30%.

Dieser Prozess kann durchgeführt werden, indem einfach Primzahlen gezählt werden, solange wir eine Liste von Primzahlen haben. Zum Beispiel gibt es 25 Primzahlen kleiner oder gleich 100. (Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl von 1 bis 100 eine Primzahl ist, 25/100 = 25%.) Wenn wir jedoch keine Liste haben von Primzahlen könnte es rechnerisch entmutigend sein, die Menge von Primzahlen zu bestimmen, die kleiner oder gleich einer gegebenen sind Nummer x.

Der Primzahlsatz

Wenn Sie nicht die Anzahl der Primzahlen gezählt haben, die kleiner oder gleich sind xDann gibt es einen alternativen Weg, um dieses Problem zu lösen. Die Lösung beinhaltet ein mathematisches Ergebnis, das als Primzahlsatz bekannt ist. Dies ist eine Aussage über die Gesamtverteilung der Primzahlen und kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu approximieren, die wir zu bestimmen versuchen.

Der Primzahlsatz besagt, dass es ungefähr gibt x / ln (x) Primzahlen, die kleiner oder gleich sind x. Hier ln (x) bezeichnet den natürlichen Logarithmus von xoder mit anderen Worten der Logarithmus mit einer Basis von die Nummer e. Als Wert von x erhöht sich die Annäherung verbessert sich in dem Sinne, dass wir eine Abnahme des relativen Fehlers zwischen der Anzahl der Primzahlen kleiner als sehen x und der Ausdruck x / ln (x).

Anwendung des Primzahlsatzes

Wir können das Ergebnis des Primzahlsatzes verwenden, um das Problem zu lösen, das wir ansprechen wollen. Wir wissen durch den Primzahlsatz, dass es ungefähr gibt x / ln (x) Primzahlen, die kleiner oder gleich sind x. Darüber hinaus gibt es insgesamt x positive ganze Zahlen kleiner oder gleich x. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl in diesem Bereich eine Primzahl ist, (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Beispiel

Wir können dieses Ergebnis nun verwenden, um die Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Auswahl einer Primzahl aus der ersten zu approximieren Milliarde ganze Zahlen. Wir berechnen den natürlichen Logarithmus von einer Milliarde und sehen, dass ln (1.000.000.000) ungefähr 20,7 und 1 / ln (1.000.000.000) ungefähr 0,0483 beträgt. Wir haben also eine Wahrscheinlichkeit von 4,83%, zufällig eine Primzahl aus den ersten Milliarden Ganzzahlen auszuwählen.

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