Aus der können mehrere Wahrscheinlichkeitssätze abgeleitet werden Axiome der Wahrscheinlichkeit. Diese Theoreme können angewendet werden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, die wir möglicherweise wissen möchten. Ein solches Ergebnis ist als Komplementregel bekannt. Diese Aussage erlaubt es uns, die Wahrscheinlichkeit eines zu berechnen VeranstaltungEIN durch Kenntnis der Wahrscheinlichkeit des Komplements EINC.. Nachdem wir die Komplementregel angegeben haben, werden wir sehen, wie dieses Ergebnis bewiesen werden kann.
Die Ergänzungsregel
Die Ergänzung der Veranstaltung EIN wird mit bezeichnet EINC.. Die Ergänzung von EIN ist der einstellen aller Elemente in der universellen Menge, oder Probenraum S, das sind keine Elemente der Menge EIN.
Die Komplementregel wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:
P (EINC.) = 1 - P (EIN)
Hier sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit seines Komplements 1 ergeben müssen.
Nachweis der Ergänzungsregel
Um die Komplementregel zu beweisen, beginnen wir mit den Axiomen der Wahrscheinlichkeit. Diese Aussagen werden ohne Beweis angenommen. Wir werden sehen, dass sie systematisch verwendet werden können, um unsere Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Ergänzung eines Ereignisses zu beweisen.
- Das erste Axiom der Wahrscheinlichkeit ist, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht negativ ist reelle Zahl.
- Das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom ist die Wahrscheinlichkeit des gesamten Probenraums S. ist ein. Symbolisch schreiben wir P (S.) = 1.
- Das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom besagt, dass If EIN und B. sich gegenseitig ausschließen (was bedeutet, dass sie einen leeren Schnittpunkt haben), dann geben wir die Wahrscheinlichkeit der an Vereinigung dieser Ereignisse als P (EIN U. B. ) = P (EIN) + P (B.).
Für die Komplementregel müssen wir nicht das erste Axiom in der obigen Liste verwenden.
Um unsere Aussage zu beweisen, betrachten wir die Ereignisse EINund EINC.. Aus der Mengenlehre wissen wir, dass diese beiden Mengen einen leeren Schnittpunkt haben. Dies liegt daran, dass ein Element nicht gleichzeitig in beiden enthalten sein kann EIN und nicht in EIN. Da es eine leere Kreuzung gibt, sind diese beiden Mengen sich gegenseitig ausschließen.
Die Vereinigung der beiden Ereignisse EIN und EINC. sind auch wichtig. Dies sind erschöpfende Ereignisse, was bedeutet, dass die Union Von diesen Ereignissen ist der gesamte Probenraum S..
Diese Tatsachen, kombiniert mit den Axiomen, geben uns die Gleichung
1 = P (S.) = P (EIN U. EINC.) = P (EIN) + P (EINC.) .
Die erste Gleichheit beruht auf dem zweiten Wahrscheinlichkeitsaxiom. Die zweite Gleichheit ist wegen der Ereignisse EIN und EINC. sind erschöpfend. Die dritte Gleichheit ist auf das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom zurückzuführen.
Die obige Gleichung kann in die oben angegebene Form gebracht werden. Alles was wir tun müssen, ist die Wahrscheinlichkeit von zu subtrahieren EIN von beiden Seiten der Gleichung. Somit
1 = P (EIN) + P (EINC.)
wird die Gleichung
P (EINC.) = 1 - P (EIN).
Natürlich könnten wir die Regel auch so ausdrücken:
P (EIN) = 1 - P (EINC.).
Alle drei Gleichungen sind äquivalente Arten, dasselbe zu sagen. Wir sehen aus diesem Beweis, dass nur zwei Axiome und eine Mengenlehre einen großen Beitrag dazu leisten, neue Aussagen zur Wahrscheinlichkeit zu beweisen.