So finden Sie den Startwert einer Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen erzählen die Geschichten explosiver Veränderungen. Die zwei Arten von Exponentialfunktionen sind exponentielles Wachstum und exponentiellen Abfall. Vier Variablen - prozentuale Änderung, Zeit, Betrag zu Beginn des Zeitraums und Betrag am Ende des Zeitraums - spielen in Exponentialfunktionen eine Rolle. Dieser Artikel befasst sich mit der Ermittlung des Betrags zu Beginn des Zeitraums. ein.

Exponentielles Wachstum: Die Änderung, die auftritt, wenn ein ursprünglicher Betrag über einen bestimmten Zeitraum um eine konstante Rate erhöht wird

Exponentielles Wachstum im wirklichen Leben:

• Werte der Eigenheimpreise
• Werte von Investitionen
• Erhöhte Mitgliedschaft in einer beliebten Social-Networking-Site

Hier ist eine exponentielle Wachstumsfunktion:

y = ein(1 + b)^x

• y: Endbetrag, der über einen bestimmten Zeitraum verbleibt
• ein: Der ursprüngliche Betrag
• x: Zeit
• Das Wachstumsfaktor ist (1 + b).
• Die Variable, bist die prozentuale Änderung der Dezimalform.

Exponentieller Zerfall: Die Änderung, die auftritt, wenn ein ursprünglicher Betrag über einen bestimmten Zeitraum um eine konstante Rate reduziert wird

Exponentieller Zerfall im wirklichen Leben:

• Rückgang der Zeitungsleserschaft
• Rückgang der Schlaganfälle in den USA
• Anzahl der Menschen, die in einer von Hurrikanen heimgesuchten Stadt bleiben

Hier ist eine exponentielle Abklingfunktion:

y = ein(1-b)^x

• y: Endbetrag, der nach dem Zerfall über einen bestimmten Zeitraum verbleibt
• ein: Der ursprüngliche Betrag
• x: Zeit
• Das Zerfallsfaktor ist (1-b).
• Die Variable, bist die prozentuale Abnahme der Dezimalform.

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Diese Funktion beschreibt das exponentielle Wachstum der Investition:

120,000 = ein(1 +.08)⁶

• 120.000: Restbetrag nach 6 Jahren
• .08: Jährliche Wachstumsrate
• 6: Die Anzahl der Jahre, in denen die Investition wächst
• ein: Der anfängliche Betrag, den Ihre Familie investiert hat

Hinweis: Dank der symmetrischen Eigenschaft der Gleichheit sind 120.000 = ein(1 +.08)⁶ ist das gleiche wie ein(1 +.08)⁶ = 120,000. (Symmetrische Eigenschaft der Gleichheit: Wenn 10 + 5 = 15, dann 15 = 10 + 5.)

Wenn Sie die Gleichung lieber mit der Konstanten 120.000 rechts neben der Gleichung umschreiben möchten, tun Sie dies.

ein(1 +.08)⁶ = 120,000

Zugegeben, die Gleichung sieht nicht wie eine lineare Gleichung aus (6ein = $ 120.000), aber es ist lösbar. Dabei bleiben!

ein(1 +.08)⁶ = 120,000

Seien Sie vorsichtig: Lösen Sie diese Exponentialgleichung nicht, indem Sie 120.000 durch 6 teilen. Es ist ein verlockendes Mathe-Nein-Nein.

1. Verwenden Reihenfolge der Operationen vereinfachen.

ein(1 +.08)⁶ = 120,000

ein(1.08)⁶ = 120.000 (Klammer)

ein(1,586874323) = 120.000 (Exponent)

2. Lösen durch Teilen

ein(1.586874323) = 120,000

ein(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1ein = 75,620.35523

ein = 75,620.35523

Der ursprüngliche Betrag oder der Betrag, den Ihre Familie investieren sollte, beträgt ungefähr 75.620,36 USD.

3. Einfrieren - du bist noch nicht fertig. Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.

120,000 = ein(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Klammer)

120.000 = 75.620,35523 (1,586874323) (Exponent)

120.000 = 120.000 (Multiplikation)

Hier sind Beispiele für die Lösung des ursprünglichen Betrags unter Berücksichtigung der Exponentialfunktion:

1. 84 = ein(1+.31)⁷
   Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
   84 = ein(1.31)⁷ (Klammer)
   84 = ein(6.620626219) (Exponent)
   Teilen, um zu lösen.
   84/6.620626219 = ein(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1ein
   12.68762157 = ein
   Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Klammer)
   84 = 12,68762157 (6,620626219) (Exponent)
   84 = 84 (Multiplikation)
2. ein(1 -.65)³ = 56
   Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
   ein(.35)³ = 56 (Klammer)
   ein(.042875) = 56 (Exponent)
   Teilen, um zu lösen.
   ein(.042875)/.042875 = 56/.042875
   ein = 1,306.122449
   Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
   ein(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (Klammer)
   1,306,122449 (0,042875) = 56 (Exponent)
   56 = 56 (Multiplizieren)
3. ein(1 + .10)⁵ = 100,000
   Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
   ein(1.10)⁵ = 100.000 (Klammer)
   ein(1,61051) = 100.000 (Exponent)
   Teilen, um zu lösen.
   ein(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   ein = 62,092.13231
   Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100.000 (Klammer)
   62.092,13231 (1,61051) = 100.000 (Exponent)
   100.000 = 100.000 (Multiplizieren)
4. 8,200 = ein(1.20)¹⁵
   Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
   8,200 = ein(1.20)¹⁵ (Exponent)
   8,200 = ein(15.40702157)
   Teilen, um zu lösen.
   8,200/15.40702157 = ein(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1ein
   532.2248665 = ein
   Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8.200 = 532,2248665 (15,40702157) (Exponent)
   8.200 = 8200 (Nun, 8.199,9999... Nur ein kleiner Rundungsfehler.) (Multiplizieren.)
5. ein(1 -.33)² = 1,000
   Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
   ein(.67)² = 1.000 (Klammer)
   ein(.4489) = 1.000 (Exponent)
   Teilen, um zu lösen.
   ein(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1ein = 2,227.667632
   ein = 2,227.667632
   Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1.000 (Klammer)
   2,227.667632 (.4489) = 1.000 (Exponent)
   1.000 = 1.000 (Multiplizieren)
6. ein(.25)⁴ = 750
   Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
   ein(.00390625) = 750 (Exponent)
   Teilen, um zu lösen.
   ein(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192.000
   a = 192.000
   Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750