Der Mittelwert und die Varianz einer Zufallsvariablen X. mit einer Binomialwahrscheinlichkeitsverteilung kann schwierig sein, direkt zu berechnen. Obwohl klar sein kann, was bei der Verwendung der Definition des zu tun ist erwarteter Wert von X. und X.2Die eigentliche Ausführung dieser Schritte ist ein kniffliges Jonglieren von Algebra und Summationen. Eine alternative Methode zur Bestimmung des Mittelwerts und der Varianz von a Binomialverteilung ist die zu verwenden Momenterzeugungsfunktion zum X..
Binomiale Zufallsvariable
Beginnen Sie mit der Zufallsvariablen X. und beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung genauer. Ausführen n unabhängige Bernoulli-Versuche, von denen jeder eine Erfolgswahrscheinlichkeit hat p und Ausfallwahrscheinlichkeit 1 - p. Somit ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
f (x) = C.(n, x)px(1 – p)n - x
Hier der Begriff C.(n, x) bezeichnet die Anzahl der Kombinationen von n Elemente genommen x zu einer Zeit und x kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen..., n.
Momenterzeugungsfunktion
Verwenden Sie diese Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, um die Momenterzeugungsfunktion von zu erhalten X.:
M.(t) = Σx = 0netxC.(n,x)>)px(1 – p)n - x.
Es wird klar, dass Sie die Begriffe mit dem Exponenten von kombinieren können x:
M.(t) = Σx = 0n (Sportt)xC.(n,x)>)(1 – p)n - x.
Darüber hinaus lautet der obige Ausdruck unter Verwendung der Binomialformel einfach:
M.(t) = [(1 – p) + Sportt]n.
Berechnung des Mittelwerts
Um die zu finden bedeuten und Varianz müssen Sie beide kennen M.’(0) und M.’’(0). Beginnen Sie mit der Berechnung Ihrer Derivate und bewerten Sie sie dann jeweils unter t = 0.
Sie werden sehen, dass die erste Ableitung der Momenterzeugungsfunktion ist:
M.’(t) = n(Sportt)[(1 – p) + Sportt]n - 1.
Daraus können Sie den Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen. M.(0) = n(Sport0)[(1 – p) + Sport0]n - 1 = np. Dies entspricht dem Ausdruck, den wir direkt aus der Definition des Mittelwerts erhalten haben.
Berechnung der Varianz
Die Berechnung der Varianz erfolgt auf ähnliche Weise. Unterscheiden Sie zuerst die Momenterzeugungsfunktion erneut, und dann bewerten wir diese Ableitung bei t = 0. Hier wirst du das sehen
M.’’(t) = n(n - 1)(Sportt)2[(1 – p) + Sportt]n - 2 + n(Sportt)[(1 – p) + Sportt]n - 1.
Um die Varianz dieser Zufallsvariablen zu berechnen, müssen Sie finden M.’’(t). Hier hast du M.’’(0) = n(n - 1)p2 +np. Die Varianz σ2 Ihrer Verteilung ist
σ2 = M.’’(0) – [M.’(0)]2 = n(n - 1)p2 +np - (np)2 = np(1 - p).
Obwohl diese Methode etwas kompliziert ist, ist sie nicht so kompliziert wie die Berechnung des Mittelwerts und der Varianz direkt aus der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion.