Binomialverteilungen sind eine wichtige Klasse von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese Arten von Verteilungen sind eine Reihe von n unabhängige Bernoulli-Versuche, von denen jeder eine konstante Wahrscheinlichkeit hat p des Erfolgs. Wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung möchten wir wissen, was ihr Mittelwert oder Zentrum ist. Dafür fragen wir wirklich: „Was ist das? erwarteter Wert der Binomialverteilung? "
Intuition vs. Beweis
Wenn wir sorgfältig über a nachdenken Binomialverteilungist es nicht schwer festzustellen, dass das erwartet wird Wert dieser Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist np. Beachten Sie für einige kurze Beispiele Folgendes:
- Wenn wir 100 Münzen werfen und X. ist die Anzahl der Köpfe, der erwartete Wert von X. ist 50 = (1/2) 100.
- Wenn wir einen Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen durchführen und jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat (nur eine davon was richtig ist), dann würde zufälliges Raten bedeuten, dass wir nur erwarten würden, (1/4) 20 = 5 Fragen zu bekommen richtig.
In diesen beiden Beispielen sehen wir das E [X] = n p. Zwei Fälle reichen kaum aus, um zu einer Schlussfolgerung zu gelangen. Obwohl Intuition ein gutes Werkzeug ist, um uns zu führen, reicht es nicht aus, ein mathematisches Argument zu bilden und zu beweisen, dass etwas wahr ist. Wie können wir definitiv beweisen, dass der erwartete Wert dieser Verteilung tatsächlich ist? np?
Aus der Definition des Erwartungswertes und der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die Binomialverteilung von n Versuche der Erfolgswahrscheinlichkeit pkönnen wir zeigen, dass unsere Intuition mit den Früchten der mathematischen Strenge übereinstimmt. Wir müssen bei unserer Arbeit etwas vorsichtig sein und bei unseren Manipulationen des Binomialkoeffizienten, der durch die Formel für Kombinationen gegeben ist, flink sein.
Wir beginnen mit der Formel:
E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) px(1-p)n - x.
Da jeder Term der Summation mit multipliziert wird x, der Wert des Ausdrucks entspricht x = 0 wird 0 sein, und so können wir tatsächlich schreiben:
E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) p x (1 - p) n - x .
Durch Manipulieren der am Ausdruck beteiligten Fakultäten für C (n, x) wir können umschreiben
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Dies ist wahr, weil:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Es folgt dem:
E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) p x (1 - p) n - x .
Wir berücksichtigen das n und ein p aus dem obigen Ausdruck:
E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
Eine Änderung der Variablen r = x - 1 gibt uns:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
Nach der Binomialformel (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r Die obige Zusammenfassung kann umgeschrieben werden:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.
Das obige Argument hat uns weit gebracht. Von Anfang an haben wir mit der Definition des Erwartungswerts und der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine Binomialverteilung bewiesen, was unsere Intuition uns gesagt hat. Der erwartete Wert des BinomialverteilungB (n, p) ist n p.