Was ist Kalkül? Definition und praktische Anwendungen

Die Analysis ist ein Zweig der Mathematik, in dem Änderungsraten untersucht werden. Bevor der Kalkül erfunden wurde, war die gesamte Mathematik statisch: Es konnte nur helfen, Objekte zu berechnen, die vollkommen still waren. Aber das Universum bewegt sich ständig und verändert sich. Keine Objekte - von den Sternen im Weltraum bis zu subatomaren Partikeln oder Zellen im Körper - sind immer in Ruhe. In der Tat bewegt sich fast alles im Universum ständig. Mithilfe von Kalkül konnte ermittelt werden, wie sich Partikel, Sterne und Materie in Echtzeit tatsächlich bewegen und ändern.

Kalkül wird in einer Vielzahl von Feldern verwendet, von denen Sie normalerweise nicht glauben würden, dass sie ihre Konzepte nutzen würden. Darunter sind Physik, Ingenieurwesen, Wirtschaft, Statistik und Medizin. Kalkül wird auch in so unterschiedlichen Bereichen wie der Raumfahrt eingesetzt, um zu bestimmen, wie Medikamente mit dem Körper interagieren und sogar um sicherere Strukturen aufzubauen. Sie werden verstehen, warum Kalkül in so vielen Bereichen nützlich ist, wenn Sie ein wenig über seine Geschichte wissen und wissen, wofür es entwickelt und gemessen werden soll.

Key Takeaways: Fundamentalsatz des Kalküls

Kalkül wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von zwei Mathematikern, Gottfried Leibniz und Isaac Newton. Newton entwickelte zuerst einen Kalkül und wandte ihn direkt auf das Verständnis physikalischer Systeme an. Unabhängig davon entwickelte Leibniz die im Kalkül verwendeten Notationen. Einfach ausgedrückt, während die grundlegende Mathematik Operationen wie Plus, Minus, Zeiten und Division (+, -, x und ÷) verwendet, verwendet die Berechnung Operationen, die verwendet werden Funktionen und Integrale Änderungsraten zu berechnen.

Mit diesen Werkzeugen konnten Newton, Leibniz und andere Mathematiker, die folgten, an jedem Punkt Dinge wie die genaue Steigung einer Kurve berechnen. Die Geschichte der Mathematik erklärt die Bedeutung von Newtons Grundsatz des Kalküls:

"Im Gegensatz zur statischen Geometrie der Griechen ermöglichte der Kalkül Mathematikern und Ingenieuren, das zu verstehen Bewegung und dynamische Veränderung in der sich verändernden Welt um uns herum, wie die Umlaufbahnen von Planeten, die Bewegung von Flüssigkeiten, etc."

Mithilfe von Kalkül konnten Wissenschaftler, Astronomen, Physiker, Mathematiker und Chemiker nun die Umlaufbahn der Planeten und Sterne sowie den Weg von Elektronen und Protonen auf atomarer Ebene kartieren.

Es gibt zwei Zweige der Analysis: Differential- und Integralrechnung. "Differentialrechnung untersucht die abgeleiteten und Integralrechnung... das Integral", bemerkt das Massachusetts Institute of Technology. Aber es steckt noch mehr dahinter. Die Differentialrechnung bestimmt die Änderungsrate einer Größe. Es untersucht die Änderungsraten von Steigungen und Kurven.

Dieser Zweig befasst sich mit der Untersuchung der Änderungsrate von Funktionen in Bezug auf ihre Variablen, insbesondere durch den Einsatz von Derivaten und Differentialen. Die Ableitung ist die Steigung einer Linie in einem Diagramm. Sie finden die Steigung einer Linie, indem Sie die berechnen über die Flucht steigen.

Integralrechnungversucht dagegen, die Größe zu finden, bei der die Änderungsrate bekannt ist. Dieser Zweig konzentriert sich auf Konzepte wie Steigungen von Tangentenlinien und Geschwindigkeiten. Während sich die Differentialrechnung auf die Kurve selbst konzentriert, befasst sich die Integralrechnung mit dem Raum oder der Fläche unter die Kurve. Die Integralrechnung wird verwendet, um die Gesamtgröße oder den Gesamtwert wie Längen, Flächen und Volumen zu ermitteln.

Kalkül spielte eine wesentliche Rolle in der Entwicklung der Navigation im 17. und 18. Jahrhundert, weil es den Seeleuten ermöglichte, die Position des Mondes zu verwenden, um die Ortszeit genau zu bestimmen. Um ihre Position auf See zu bestimmen, mussten die Navigatoren in der Lage sein, sowohl Zeit als auch Winkel genau zu messen. Vor der Entwicklung des Kalküls konnten Schiffsnavigatoren und Kapitäne beides nicht.

Der abgeleitete und der integrale Kalkül trugen dazu bei, das Verständnis dieses wichtigen Konzepts in Bezug auf die Erdkurve zu verbessern Entfernungsschiffe mussten um eine Kurve fahren, um zu einem bestimmten Ort zu gelangen, und sogar die Ausrichtung der Erde, der Meere und der Schiffe in Bezug auf die Sterne.

Kalkül hat viele praktische Anwendungen im wirklichen Leben. Manche der Konzepte, die Kalkül verwenden Dazu gehören Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik und Astronomie. Kalkül wird in den Bereichen Geografie, Computer Vision (z. B. zum autonomen Fahren von Autos), Fotografie, künstliche Intelligenz, Robotik, Videospiele und sogar Filme verwendet. Kalkül wird auch verwendet, um die Raten des radioaktiven Zerfalls in der Chemie zu berechnen und sogar um die Geburten- und Sterblichkeitsraten vorherzusagen. sowie bei der Untersuchung der Schwerkraft und der Planetenbewegung, des Flüssigkeitsflusses, des Schiffsdesigns, der geometrischen Kurven und der Brückentechnik.

In der Physik wird beispielsweise die Analysis verwendet, um Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik, Astronomie und Dynamik zu definieren, zu erklären und zu berechnen. Einsteins Relativitätstheorie basiert auf der Analysis, einem Bereich der Mathematik, mit dem Ökonomen auch vorhersagen können, wie viel Gewinn ein Unternehmen oder eine Branche erzielen kann. Und in SchiffbauDer Kalkül wird seit vielen Jahren verwendet, um sowohl die Kurve des Schiffsrumpfs (unter Verwendung eines Differentials) zu bestimmen Kalkül) sowie die Fläche unter dem Rumpf (unter Verwendung von Integralkalkül) und sogar in der allgemeinen Gestaltung von Schiffe.

Darüber hinaus wird der Kalkül verwendet, um Antworten für verschiedene mathematische Disziplinen wie Statistik, analytische Geometrie und Algebra zu überprüfen.

Ökonomen verwenden Kalkül, um Angebot, Nachfrage und maximale potenzielle Gewinne vorherzusagen. Angebot und Nachfrage werden schließlich im Wesentlichen auf einer Kurve dargestellt - und zwar in einer sich ständig ändernden Kurve.

Ökonomen verwenden Kalkül, um die zu bestimmen Preiselastizität der Nachfrage. Sie bezeichnen die sich ständig ändernde Angebots- und Nachfragekurve als "elastisch" und die Aktionen der Kurve als "Elastizität". Berechnung eines genauen Elastizitätsmaßes an einem bestimmten Wenn Sie auf eine Angebots- oder Nachfragekurve zeigen, müssen Sie über unendlich kleine Preisänderungen nachdenken und daher mathematische Ableitungen in Ihre Elastizität einbeziehen Formeln. Mit Calculus können Sie bestimmte Punkte auf dieser sich ständig ändernden Angebots- und Nachfragekurve bestimmen.

"Kalkül Zusammenfassung." Massachusetts Institute of Technology, 10. Januar 2000, Cambridge, MA.