Mengenlehre und wie sie verwendet wird

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Konzept in der gesamten Mathematik. Dieser Zweig der Mathematik bildet eine Grundlage für andere Themen.

Intuitiv ist eine Menge eine Sammlung von Objekten, die als Elemente bezeichnet werden. Obwohl dies eine einfache Idee zu sein scheint, hat sie einige weitreichende Konsequenzen.

Die Elemente eines Sets können wirklich alles sein - Zahlen, Zustände, Autos, Menschen oder sogar andere Sets sind alle Möglichkeiten für Elemente. Fast alles, was zusammen gesammelt werden kann, kann verwendet werden, um ein Set zu bilden, obwohl es einige Dinge gibt, bei denen wir vorsichtig sein müssen.

Elemente einer Menge befinden sich entweder in einer Menge oder nicht in einer Menge. Wir können eine Menge durch eine definierende Eigenschaft beschreiben oder die Elemente in der Menge auflisten. Die Reihenfolge, in der sie aufgelistet sind, ist nicht wichtig. Die Mengen {1, 2, 3} und {1, 3, 2} sind also gleiche Mengen, da beide dieselben Elemente enthalten.

Zwei Sets verdienen besondere Erwähnung. Die erste ist die universelle Menge, die typischerweise bezeichnet wird U.. Dieses Set enthält alle Elemente, aus denen wir auswählen können. Dieser Satz kann von einer Einstellung zur nächsten unterschiedlich sein. Zum Beispiel kann ein universeller Satz der Satz von sein reale Nummern Für ein anderes Problem kann die universelle Menge die ganzen Zahlen {0, 1, 2, ...} sein.

Der andere Satz, der etwas Aufmerksamkeit erfordert, heißt leeres Set. Die leere Menge ist die eindeutige Menge ist die Menge ohne Elemente. Wir können dies als {} schreiben und diese Menge mit dem Symbol ∅ bezeichnen.

Eine Sammlung einiger Elemente eines Sets EIN heißt a Teilmenge von EIN. Das sagen wir EIN ist eine Teilmenge von B. genau dann, wenn jedes Element von EIN ist auch ein Element von B.. Wenn es eine endliche Zahl gibt n von Elementen in einer Menge, dann gibt es insgesamt 2ⁿ Teilmengen von EIN. Diese Sammlung aller Teilmengen von EIN ist eine Menge, die als genannt wird Power Set von EIN.

So wie wir Operationen wie das Addieren ausführen können - an zwei Zahlen, um eine neue Zahl zu erhalten, werden Operationen der Mengenlehre verwendet, um eine Menge aus zwei anderen Mengen zu bilden. Es gibt eine Reihe von Operationen, aber fast alle setzen sich aus den folgenden drei Operationen zusammen:

• Union - Eine Gewerkschaft bedeutet ein Zusammenbringen. Die Vereinigung der Sets EIN und B. besteht aus den Elementen, die in beiden sind EIN oder B..
• Überschneidung - An einer Kreuzung treffen sich zwei Dinge. Der Schnittpunkt der Mengen EIN und B. besteht aus den Elementen, die in beiden EIN und B..
• Ergänzen - Die Ergänzung des Sets EIN besteht aus allen Elementen in der universellen Menge, die keine Elemente von sind EIN.

Ein Werkzeug, das bei der Darstellung der Beziehung zwischen verschiedenen Mengen hilfreich ist, wird als Venn-Diagramm bezeichnet. Ein Rechteck repräsentiert die universelle Menge für unser Problem. Jeder Satz wird mit einem Kreis dargestellt. Wenn sich die Kreise überschneiden, zeigt dies den Schnittpunkt unserer beiden Mengen.

Die Mengenlehre wird in der gesamten Mathematik verwendet. Es dient als Grundlage für viele Teilbereiche der Mathematik. In den statistischen Bereichen wird es besonders wahrscheinlich eingesetzt. Ein Großteil der Wahrscheinlichkeitskonzepte leitet sich aus den Konsequenzen der Mengenlehre ab. In der Tat eine Möglichkeit, die Axiome der Wahrscheinlichkeit beinhaltet Mengenlehre.