Die Varianz einer Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein wichtiges Merkmal. Diese Zahl gibt die Ausbreitung einer Verteilung an und wird durch Quadrieren der ermittelt Standardabweichung. Eine häufig verwendete diskrete Verteilung ist das der Poisson-Verteilung. Wir werden sehen, wie die Varianz der Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ berechnet wird.
Die Poisson-Verteilung
Poisson-Verteilungen werden verwendet, wenn wir ein Kontinuum haben und diskrete Änderungen innerhalb dieses Kontinuums zählen. Dies tritt auf, wenn wir die Anzahl der Personen berücksichtigen, die innerhalb einer Stunde an einem Kinokartenschalter ankommen die Anzahl der Autos, die durch eine Kreuzung mit einem Vier-Wege-Stopp fahren, oder die Anzahl der Fehler, die in einer Länge von auftreten Draht.
Wenn wir in diesen Szenarien einige klarstellende Annahmen treffen, stimmen diese Situationen mit den Bedingungen für einen Poisson-Prozess überein. Wir sagen dann, dass die Zufallsvariable, die die Anzahl der Änderungen zählt, eine Poisson-Verteilung hat.
Die Poisson-Verteilung bezieht sich tatsächlich auf eine unendliche Familie von Verteilungen. Diese Verteilungen sind mit einem einzigen Parameter λ ausgestattet. Der Parameter ist positiv reelle Zahl Dies hängt eng mit der erwarteten Anzahl der im Kontinuum beobachteten Änderungen zusammen. Außerdem werden wir sehen, dass dieser Parameter nicht nur dem entspricht bedeuten der Verteilung, aber auch die Varianz der Verteilung.
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine Poisson-Verteilung ist gegeben durch:
f(x) = (λxe-λ)/x!
In diesem Ausdruck der Brief e ist eine Zahl und ist die mathematische Konstante mit einem Wert von ungefähr 2,718281828. Die Variable x kann eine beliebige nichtnegative Ganzzahl sein.
Berechnung der Varianz
Um den Mittelwert einer Poisson-Verteilung zu berechnen, verwenden wir diese Verteilung Momenterzeugungsfunktion. Wir sehen das:
M.( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Wir erinnern uns jetzt an die Maclaurin-Serie für eu. Da jede Ableitung der Funktion eu ist euAlle diese bei Null bewerteten Derivate ergeben 1. Das Ergebnis ist die Serie eu = Σ un/n!.
Durch Verwendung der Maclaurin-Serie für eukönnen wir die Momenterzeugungsfunktion nicht als Reihe, sondern in geschlossener Form ausdrücken. Wir kombinieren alle Begriffe mit dem Exponenten von x. Somit M.(t) = eλ(et - 1).
Wir finden nun die Varianz, indem wir die zweite Ableitung von nehmen M. und dies bei Null auswerten. Schon seit M.’(t) =λetM.(t) verwenden wir die Produktregel, um die zweite Ableitung zu berechnen:
M.’’(t)=λ2e2tM.’(t) + λetM.(t)
Wir bewerten dies bei Null und finden das M.’’(0) = λ2 + λ. Wir nutzen dann die Tatsache, dass M.’(0) = λ, um die Varianz zu berechnen.
Var (X.) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Dies zeigt, dass der Parameter λ nicht nur der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist, sondern auch deren Varianz.