Was ist die Cauchy-Verteilung?

Eine Verteilung einer Zufallsvariablen ist nicht für ihre Anwendungen wichtig, sondern für das, was sie über unsere Definitionen aussagt. Die Cauchy-Verteilung ist ein solches Beispiel, das manchmal als pathologisches Beispiel bezeichnet wird. Der Grund dafür ist, dass diese Verteilung zwar gut definiert ist und einen Zusammenhang mit einem physikalischen Phänomen hat, die Verteilung jedoch keinen Mittelwert oder keine Varianz aufweist. In der Tat besitzt diese Zufallsvariable kein Momenterzeugungsfunktion.

Wir definieren die Cauchy-Verteilung, indem wir einen Spinner betrachten, beispielsweise den Typ in einem Brettspiel. Das Zentrum dieses Spinners wird auf dem verankert y Achse am Punkt (0, 1). Nach dem Drehen des Spinners verlängern wir das Liniensegment des Spinners, bis es die x-Achse kreuzt. Dies wird als unsere Zufallsvariable definiert X..

Wir lassen w den kleineren der beiden Winkel bezeichnen, die der Spinner mit dem macht y Achse. Wir nehmen an, dass dieser Spinner mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen Winkel wie ein anderer bildet, und daher hat W eine gleichmäßige Verteilung im Bereich von -π / 2 bis π / 2

Die grundlegende Trigonometrie bietet uns eine Verbindung zwischen unseren beiden Zufallsvariablen:

X. = bräunenW..

Die kumulative Verteilungsfunktion vonX.wird wie folgt abgeleitet:

H.(x) = P.(X. < x) = P.(bräunenW. < x) = P.(W. < ArctanX.)

Wir nutzen dann die Tatsache, dassW. ist einheitlich, und das gibt uns:

H.(x) = 0.5 + (Arctanx)/π

Um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu erhalten, differenzieren wir die kumulative Dichtefunktion. Das Ergebnis ist h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Was die Cauchy-Verteilung interessant macht, ist, dass wir sie zwar mit dem physikalischen System von a definiert haben Zufallsspinner, eine Zufallsvariable mit einer Cauchy-Verteilung hat keinen Mittelwert, keine Varianz oder keinen Moment, der erzeugt Funktion. Alle der Momente Über den Ursprung, der zur Definition dieser Parameter verwendet wird, gibt es keine.

Wir beginnen mit der Betrachtung des Mittelwerts. Der Mittelwert ist definiert als der erwartete Wert unserer Zufallsvariablen und somit E [X.] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Wir integrieren mit Auswechslung. Wenn wir setzen u = 1 +x² dann sehen wir, dass du = 2x dx. Nach der Substitution konvergiert das resultierende falsche Integral nicht. Dies bedeutet, dass der erwartete Wert nicht vorhanden ist und der Mittelwert undefiniert ist.

In ähnlicher Weise sind die Varianz- und Momenterzeugungsfunktion undefiniert.

Die Cauchy-Distribution ist nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) benannt. Obwohl diese Distribution nach Cauchy benannt wurde, wurden Informationen zur Distribution erstmals von veröffentlicht Poisson.