Mathematische Eigenschaften von Wellen

Physikalische Wellen oder mechanische Wellenbilden sich durch die Schwingung eines Mediums, sei es eine Schnur, die Erdkruste oder Partikel von Gasen und Flüssigkeiten. Wellen haben mathematische Eigenschaften, die analysiert werden können, um die Bewegung der Welle zu verstehen. In diesem Artikel werden diese allgemeinen Welleneigenschaften vorgestellt und nicht, wie sie in bestimmten Situationen der Physik angewendet werden.

Es gibt zwei Arten von mechanischen Wellen.

A ist derart, dass die Verschiebungen des Mediums senkrecht (quer) zur Bewegungsrichtung der Welle entlang des Mediums sind. Das Vibrieren einer Saite in periodischer Bewegung, so dass sich die Wellen entlang der Saite bewegen, ist eine Transversalwelle, ebenso wie Wellen im Ozean.

EIN Longitudinalwelle ist so, dass die Verschiebungen des Mediums in derselben Richtung wie die Welle selbst hin und her gehen. Ein Beispiel für eine Longitudinalwelle sind Schallwellen, bei denen die Luftpartikel in Fahrtrichtung entlanggeschoben werden.

Obwohl sich die in diesem Artikel diskutierten Wellen auf die Bewegung in einem Medium beziehen, kann die hier vorgestellte Mathematik verwendet werden, um die Eigenschaften nichtmechanischer Wellen zu analysieren. Elektromagnetische Strahlung kann sich beispielsweise durch den leeren Raum bewegen, hat jedoch dieselben mathematischen Eigenschaften wie andere Wellen. Zum Beispiel die Doppler-Effekt für Schallwellen ist bekannt, aber es gibt eine ähnliche Doppler-Effekt für Lichtwellenund sie basieren auf denselben mathematischen Prinzipien.

1. Wellen können als Störung im Medium um einen Gleichgewichtszustand angesehen werden, der im Allgemeinen in Ruhe ist. Die Energie dieser Störung verursacht die Wellenbewegung. Ein Wasserbecken befindet sich im Gleichgewicht, wenn keine Wellen vorhanden sind. Sobald jedoch ein Stein hineingeworfen wird, wird das Gleichgewicht der Partikel gestört und die Wellenbewegung beginnt.
2. Die Störung der Welle bewegt sich, oder propagiert, mit einer bestimmten Geschwindigkeit, genannt die Wellengeschwindigkeit (v).
3. Wellen transportieren Energie, aber keine Rolle. Das Medium selbst reist nicht; Die einzelnen Teilchen bewegen sich um die Gleichgewichtsposition hin und her oder auf und ab.

Um die Wellenbewegung mathematisch zu beschreiben, verweisen wir auf das Konzept von a Wellenfunktion, die jederzeit die Position eines Partikels im Medium beschreibt. Die grundlegendste Wellenfunktion ist die Sinuswelle oder Sinuswelle, die a ist periodische Welle (d. h. eine Welle mit sich wiederholender Bewegung).

Es ist wichtig zu beachten, dass die Wellenfunktion nicht die physikalische Welle darstellt, sondern vielmehr ein Diagramm der Verschiebung um die Gleichgewichtsposition. Dies kann ein verwirrendes Konzept sein, aber das Nützliche ist, dass wir eine Sinuswelle verwenden können, um die meisten periodischen darzustellen Bewegungen wie das Bewegen in einem Kreis oder das Schwingen eines Pendels, die beim Betrachten des tatsächlichen nicht unbedingt wellenartig aussehen Bewegung.

• Wellengeschwindigkeit (v) - die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung
• Amplitude (EIN) - die maximale Größe der Verschiebung aus dem Gleichgewicht in SI-Einheiten von Metern. Im Allgemeinen ist es der Abstand vom Gleichgewichtsmittelpunkt der Welle zu ihrer maximalen Verschiebung oder die Hälfte der Gesamtverschiebung der Welle.
• Zeitraum (T.) - ist die Zeit für einen Wellenzyklus (zwei Impulse oder von Scheitel zu Scheitel oder von Talsohle zu Talsohle) in SI-Einheiten von Sekunden (obwohl dies als "Sekunden pro Zyklus" bezeichnet werden kann).
• Frequenz (f) - die Anzahl der Zyklen in einer Zeiteinheit. Die SI-Frequenzeinheit ist Hertz (Hz) und

  1 Hz = 1 Zyklus / s = 1 s^-1

• Winkelfrequenz (ω) - ist 2π mal die Frequenz in SI-Einheiten des Bogenmaßes pro Sekunde.
• Wellenlänge (λ) - der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten an entsprechenden Positionen bei aufeinanderfolgenden Wiederholungen in der Welle, also (zum Beispiel) von einem Kamm oder Trog zum nächsten, in SI-Einheiten von Metern.
• Wellenzahl (k) - auch die genannt Ausbreitungskonstanteist diese Nutzmenge definiert als 2 π geteilt durch die Wellenlänge, also sind die SI-Einheiten Bogenmaß pro Meter.
• Impuls - eine halbe Wellenlänge vom Gleichgewicht zurück

Einige nützliche Gleichungen bei der Definition der obigen Größen sind:

v = λ / T. = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T.

T. = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Die vertikale Position eines Punktes auf der Welle, y, kann in Abhängigkeit von der horizontalen Position gefunden werden, xund die Zeit, t, wenn wir es uns ansehen. Wir danken den freundlichen Mathematikern, die diese Arbeit für uns erledigt haben, und erhalten die folgenden nützlichen Gleichungen, um die Wellenbewegung zu beschreiben:

y(x, t) = EIN Sünde ω(t - x/v) = EIN Sünde 2π f(t - x/v)

y(x, t) = EIN Sünde 2π(t/T. - x/v)

y (x, t) = EIN Sünde (ω t - kx)

Ein letztes Merkmal der Wellenfunktion ist das Anwenden Infinitesimalrechnung die zweite Ableitung zu nehmen ergibt die Wellengleichung, ein faszinierendes und manchmal nützliches Produkt (das wir den Mathematikern noch einmal danken und akzeptieren werden, ohne es zu beweisen):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Die zweite Ableitung von y in Gedenken an x entspricht der zweiten Ableitung von y in Gedenken an t geteilt durch die Wellengeschwindigkeit im Quadrat. Der Hauptnutzen dieser Gleichung ist der folgende wann immer es auftritt, wissen wir, dass die Funktion y wirkt als Welle mit Wellengeschwindigkeit v und deshalb, Die Situation kann mit der Wellenfunktion beschrieben werden.