Einführung in die Dirac-Delta-Funktion

Die Dirac-Delta-Funktion ist der Name einer mathematischen Struktur, die ein idealisiertes Punktobjekt wie eine Punktmasse oder eine Punktladung darstellen soll. Es hat breite Anwendungen in der Quantenmechanik und im Rest von Quantenphysik, wie es normalerweise innerhalb des Quanten verwendet wird Wellenfunktion. Die Delta-Funktion wird mit dem griechischen Kleinbuchstaben Delta dargestellt, das als Funktion geschrieben ist: δ (x).

Diese Darstellung wird erreicht, indem die Dirac-Delta-Funktion so definiert wird, dass sie überall außer beim Eingabewert 0 den Wert 0 hat. Zu diesem Zeitpunkt stellt es eine Spitze dar, die unendlich hoch ist. Das über die gesamte Linie genommene Integral ist gleich 1. Wenn Sie Kalkül studiert haben, sind Sie wahrscheinlich schon einmal auf dieses Phänomen gestoßen. Denken Sie daran, dass dies ein Konzept ist, das normalerweise Studenten nach Jahren des Studiums der theoretischen Physik auf Hochschulniveau vorgestellt wird.

Mit anderen Worten, die Ergebnisse sind die folgenden für die grundlegendste Delta-Funktion δ (x) mit einer eindimensionalen Variablen x, für einige zufällige Eingabewerte:

• δ(5) = 0
• δ(-20) = 0
• δ(38.4) = 0
• δ(-12.2) = 0
• δ(0.11) = 0
• δ(0) = ∞

Sie können die Funktion vergrößern, indem Sie sie mit einer Konstanten multiplizieren. Nach den Regeln der Analysis erhöht das Multiplizieren mit einem konstanten Wert auch den Wert des Integrals um diesen konstanten Faktor. Da das Integral von δ (x) über alle reellen Zahlen ist 1, dann würde das Multiplizieren mit einer Konstanten von ein neues Integral ergeben, das dieser Konstante entspricht. So zum Beispiel 27δ (x) hat ein Integral über alle reellen Zahlen von 27.

Ein weiterer nützlicher Punkt ist, dass die Funktion nur für eine Eingabe von 0 einen Wert ungleich Null hat Ein Koordinatengitter, bei dem Ihr Punkt nicht direkt bei 0 ausgerichtet ist. Dies kann durch einen Ausdruck innerhalb der Funktionseingabe dargestellt werden. Wenn Sie also die Idee darstellen möchten, dass sich das Partikel an einer Position befindet x = 5, dann würden Sie die Dirac-Delta-Funktion als δ (x - 5) = ∞ schreiben [da δ (5 - 5) = ∞].

Wenn Sie diese Funktion dann verwenden möchten, um eine Reihe von Punktteilchen innerhalb eines Quantensystems darzustellen, können Sie dies tun, indem Sie verschiedene Dirac-Delta-Funktionen addieren. Für ein konkretes Beispiel könnte eine Funktion mit Punkten bei x = 5 und x = 8 als δ (x - 5) + δ (x - 8) dargestellt werden. Wenn Sie dann ein Integral dieser Funktion über alle Zahlen nehmen würden, würden Sie ein Integral erhalten, das stellt reelle Zahlen dar, obwohl die Funktionen an allen Stellen außer den beiden, an denen sie sich befinden, 0 sind sind Punkte. Dieses Konzept kann dann erweitert werden, um einen Raum mit zwei oder drei Dimensionen darzustellen (anstelle des eindimensionalen Falls, den ich in meinen Beispielen verwendet habe).

Dies ist eine zugegebenermaßen kurze Einführung in ein sehr komplexes Thema. Das Wichtigste dabei ist, dass die Dirac-Delta-Funktion im Wesentlichen nur dazu dient, die Integration der Funktion sinnvoll zu gestalten. Wenn kein Integral stattfindet, ist das Vorhandensein der Dirac-Delta-Funktion nicht besonders hilfreich. In der Physik ist es jedoch sehr hilfreich, wenn Sie aus einer Region ohne Partikel kommen, die plötzlich nur noch an einem Punkt existieren.

In seinem 1930 erschienenen Buch Prinzipien der Quantenmechanik, Englischer theoretischer Physiker Paul Dirac legte die Schlüsselelemente der Quantenmechanik dar, einschließlich der Bra-Ket-Notation und seiner Dirac-Delta-Funktion. Diese wurden zu Standardkonzepten auf dem Gebiet der Quantenmechanik innerhalb der Schrödinger-Gleichung.