Vektormathematik: Eine grundlegende, aber umfassende Einführung

Dies ist eine grundlegende, wenn auch hoffentlich ziemlich umfassende Einführung in die Arbeit mit Vektoren. Vektoren manifestieren sich auf vielfältige Weise, von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung bis hin zu Kräften und Feldern. Dieser Artikel ist der Mathematik der Vektoren gewidmet; Ihre Anwendung in bestimmten Situationen wird an anderer Stelle behandelt.

EIN Anzahl der Vektoren, oder Vektorliefert Informationen nicht nur über die Größe, sondern auch über die Richtung der Menge. Wenn Sie einem Haus eine Wegbeschreibung geben, reicht es nicht aus zu sagen, dass es 10 Meilen entfernt ist, aber die Richtung dieser 10 Meilen muss auch angegeben werden, damit die Informationen nützlich sind. Variablen, die Vektoren sind, werden mit einer fettgedruckten Variablen angezeigt, obwohl es üblich ist, Vektoren zu sehen, die mit kleinen Pfeilen über der Variablen gekennzeichnet sind.

So wie wir nicht sagen, dass das andere Haus -10 Meilen entfernt ist, ist die Größe eines Vektors immer eine positive Zahl oder vielmehr der absolute Wert der "Länge" des Vektors (obwohl der Größe kann keine Länge sein, es kann eine Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft usw. sein.) Ein Negativ vor einem Vektor zeigt keine Änderung der Größe an, sondern in Richtung der Vektor.

In den obigen Beispielen ist die Entfernung die skalare Größe (10 Meilen), aber Verschiebung ist die Vektorgröße (10 Meilen nordöstlich). In ähnlicher Weise ist Geschwindigkeit eine skalare Größe, während Geschwindigkeit a ist Vektor Menge.

EIN Einheitsvektor ist ein Vektor mit einer Größe von eins. Ein Vektor, der einen Einheitsvektor darstellt, ist normalerweise auch fett gedruckt, obwohl er ein Karat hat (^) darüber, um die Einheitennatur der Variablen anzugeben. Der Einheitsvektor xWenn es mit einem Karat geschrieben wird, wird es im Allgemeinen als "x-hat" gelesen, da das Karat wie ein Hut auf der Variablen aussieht.

Das Nullvektor, oder Nullvektorist ein Vektor mit einer Größe von Null. Es ist geschrieben als 0 In diesem Artikel.

Vektoren orientieren sich im Allgemeinen an einem Koordinatensystem, von dem das beliebteste die zweidimensionale kartesische Ebene ist. Die kartesische Ebene hat eine horizontale Achse mit der Bezeichnung x und eine vertikale Achse mit der Bezeichnung y. Einige fortgeschrittene Anwendungen von Vektoren in der Physik erfordern die Verwendung eines dreidimensionalen Raums, in dem die Achsen x, y und z sind. Dieser Artikel befasst sich hauptsächlich mit dem zweidimensionalen System, obwohl die Konzepte mit einiger Sorgfalt ohne allzu großen Aufwand auf drei Dimensionen erweitert werden können.

Vektoren in mehrdimensionalen Koordinatensystemen können in ihre zerlegt werden Komponentenvektoren. Im zweidimensionalen Fall ergibt sich a x-Komponente und ein y-Komponente. Wenn ein Vektor in seine Komponenten zerlegt wird, ist der Vektor eine Summe der Komponenten:

F. = F._x + F._y

ThetaF._xF._yF.

F._x / F. = cos Theta und F._y / F. = Sünde Thetawas uns gibt
F._x = F. cos Theta und F._y = F. Sünde Theta

Beachten Sie, dass die Zahlen hier die Größen der Vektoren sind. Wir kennen die Richtung der Komponenten, aber wir versuchen, ihre Größe zu ermitteln. Daher entfernen wir die Richtungsinformationen und führen diese Skalarberechnungen durch, um die Größe zu ermitteln. Eine weitere Anwendung der Trigonometrie kann verwendet werden, um andere Beziehungen (wie die Tangente) zwischen einigen dieser Größen zu finden, aber ich denke, das reicht vorerst.

Seit vielen Jahren lernt ein Schüler nur die Skalarmathematik. Wenn Sie 5 Meilen nach Norden und 5 Meilen nach Osten reisen, sind Sie 10 Meilen gereist. Beim Hinzufügen skalarer Größen werden alle Informationen zu den Richtungen ignoriert.

Vektoren werden etwas anders manipuliert. Die Richtung muss bei der Manipulation immer berücksichtigt werden.

Wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen, ist es so, als hätten Sie die Vektoren von Ende zu Ende platziert und einen neuen Vektor erstellt, der vom Startpunkt zum Endpunkt verläuft. Wenn die Vektoren dieselbe Richtung haben, bedeutet dies nur, dass die Größen addiert werden. Wenn sie jedoch unterschiedliche Richtungen haben, kann dies komplexer werden.

Sie fügen Vektoren hinzu, indem Sie sie in ihre Komponenten aufteilen und dann die Komponenten wie folgt hinzufügen:

ein + b = c
ein_x + ein_y + b_x + b_y =
( ein_x + b_x) + ( ein_y + b_y) = c_x + c_y

Die zwei x-Komponenten ergeben die x-Komponente der neuen Variablen, während die beiden y-Komponenten die y-Komponente der neuen Variablen ergeben.

Die Reihenfolge, in der Sie die Vektoren hinzufügen, spielt keine Rolle. Tatsächlich gelten mehrere Eigenschaften aus der Skalaraddition für die Vektoraddition:

Identitätseigenschaft der Vektoraddition
ein + 0 = ein
Inverse Eigenschaft der Vektoraddition
ein + -ein = ein - ein = 0
Reflektierende Eigenschaft der Vektoraddition
ein = ein
Kommutativgesetz der Vektoraddition
ein + b = b + ein
Assoziative Eigenschaft der Vektoraddition
(ein + b) + c = ein + (b + c)
Transitive Eigenschaft der Vektoraddition
Wenn ein = b und c = b, dann ein = c

Die einfachste Operation, die an einem Vektor ausgeführt werden kann, besteht darin, ihn mit einem Skalar zu multiplizieren. Diese Skalarmultiplikation verändert die Größe des Vektors. Mit anderen Worten, es macht den Vektor länger oder kürzer.

Wenn Sie einen negativen Skalar multiplizieren, zeigt der resultierende Vektor in die entgegengesetzte Richtung.

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist eine Möglichkeit, sie miteinander zu multiplizieren, um eine skalare Größe zu erhalten. Dies wird als Multiplikation der beiden Vektoren geschrieben, wobei ein Punkt in der Mitte die Multiplikation darstellt. Als solches wird es oft als das bezeichnet Skalarprodukt von zwei Vektoren.

Um das Punktprodukt zweier Vektoren zu berechnen, berücksichtigen Sie den Winkel zwischen ihnen. Mit anderen Worten, wenn sie denselben Ausgangspunkt hätten, was wäre die Winkelmessung (Theta) zwischen ihnen. Das Punktprodukt ist definiert als:

ein * b = ab cos Theta

ababba

In Fällen, in denen die Vektoren senkrecht sind (oder Theta = 90 Grad), cos Theta wird Null sein. Deshalb, Das Punktprodukt senkrechter Vektoren ist immer Null. Wenn die Vektoren sind parallel (oder Theta = 0 Grad), cos Theta ist 1, also ist das Skalarprodukt nur das Produkt der Größen.

Diese netten kleinen Fakten können verwendet werden, um zu beweisen, dass Sie, wenn Sie die Komponenten kennen, die Notwendigkeit von Theta vollständig mit der (zweidimensionalen) Gleichung beseitigen können:

ein * b = ein_x b_x + ein_y b_y

Das Vektorprodukt ist in der Form geschrieben ein x bund wird normalerweise die genannt Kreuzprodukt von zwei Vektoren. In diesem Fall multiplizieren wir die Vektoren und anstatt eine skalare Größe zu erhalten, erhalten wir eine Vektorgröße. Dies ist die schwierigste der Vektorberechnungen, mit denen wir uns befassen werden nicht kommutativ und beinhaltet die Verwendung der gefürchteten rechte Regel, auf die ich in Kürze eingehen werde.

Wieder betrachten wir zwei Vektoren, die vom gleichen Punkt mit dem Winkel gezeichnet wurden Theta zwischen ihnen. Wir nehmen also immer den kleinsten Winkel ein Theta wird immer in einem Bereich von 0 bis 180 liegen und das Ergebnis wird daher niemals negativ sein. Die Größe des resultierenden Vektors wird wie folgt bestimmt:

Wenn c = ein x b, dann c = ab Sünde Theta

Das Vektorprodukt paralleler (oder antiparalleler) Vektoren ist immer Null

Das Vektorprodukt ist senkrecht zu der Ebene, die aus diesen beiden Vektoren erzeugt wird. Wenn Sie sich die Ebene als flach auf einem Tisch vorstellen, stellt sich die Frage, ob der resultierende Vektor verschwindet nach oben (unser "out" von der Tabelle, aus unserer Sicht) oder down (oder "in" den Tisch, aus unserer Sicht) Perspektive).

Um dies herauszufinden, müssen Sie das anwenden, was als das bezeichnet wird rechte Regel. Als ich in der Schule Physik studierte, habe ich verabscheut die rechte Regel. Jedes Mal, wenn ich es benutzte, musste ich das Buch herausziehen, um nachzuschlagen, wie es funktionierte. Hoffentlich ist meine Beschreibung etwas intuitiver als die, die mir vorgestellt wurde.

Wenn Sie haben ein x b Sie werden Ihre rechte Hand entlang der Länge von platzieren b so dass sich Ihre Finger (außer dem Daumen) krümmen können, um entlang zu zeigen ein. Mit anderen Worten, Sie versuchen sozusagen, den Winkel zu bestimmen Theta zwischen der Handfläche und vier Fingern Ihrer rechten Hand. In diesem Fall ragt der Daumen gerade nach oben (oder aus dem Bildschirm heraus, wenn Sie versuchen, dies bis zum Computer zu tun). Ihre Knöchel werden grob mit dem Startpunkt der beiden Vektoren ausgerichtet. Präzision ist nicht unbedingt erforderlich, aber ich möchte, dass Sie auf die Idee kommen, da ich kein Bild davon habe.

Wenn Sie jedoch überlegen b x einSie werden das Gegenteil tun. Sie werden Ihre rechte Hand mitnehmen ein und zeigen Sie mit den Fingern b. Wenn Sie dies auf dem Computerbildschirm versuchen, werden Sie es unmöglich finden, also verwenden Sie Ihre Fantasie. Sie werden feststellen, dass in diesem Fall Ihr einfallsreicher Daumen auf den Computerbildschirm zeigt. Das ist die Richtung des resultierenden Vektors.

Die rechte Regel zeigt die folgende Beziehung:

ein x b = - b x ein

cabc

c_x = ein_y b_z - ein_z b_y
c_y = ein_z b_x - ein_x b_z
c_z = ein_x b_y - ein_y b_x

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Auf höheren Ebenen kann die Arbeit mit Vektoren äußerst komplex werden. Ganze Kurse im College, wie die lineare Algebra, widmen Matrizen (die ich in dieser Einführung freundlicherweise vermieden habe), Vektoren und viel Zeit Vektorräume. Dieser Detaillierungsgrad würde den Rahmen dieses Artikels sprengen, sollte jedoch die Grundlagen für die meisten Vektormanipulationen liefern, die im Physikunterricht durchgeführt werden. Wenn Sie beabsichtigen, Physik eingehender zu studieren, werden Sie im Verlauf Ihrer Ausbildung in die komplexeren Vektorkonzepte eingeführt.