Das Trägheitsmoment eines Objekts ist ein numerischer Wert, der für jeden starren Körper berechnet werden kann, der eine physikalische Drehung um eine feste Achse erfährt. Es basiert nicht nur auf der physischen Form des Objekts und seiner Massenverteilung, sondern auch auf der spezifischen Konfiguration, wie sich das Objekt dreht. Das gleiche Objekt, das sich auf unterschiedliche Weise dreht, hätte also in jeder Situation ein anderes Trägheitsmoment.
Die allgemeine Formel repräsentiert das grundlegendste konzeptionelle Verständnis des Trägheitsmoments. Grundsätzlich gilt für jedes rotierende Objekt der Moment von Trägheit kann berechnet werden, indem der Abstand jedes Partikels von der Rotationsachse genommen wird (r in der Gleichung), Quadrieren dieses Wertes (das ist die r2 Begriff), und multiplizieren Sie es mit dem Masse dieses Teilchens. Sie tun dies für alle Partikel, aus denen das rotierende Objekt besteht, und addieren dann diese Werte. Dies ergibt das Trägheitsmoment.
Die Konsequenz dieser Formel ist, dass dasselbe Objekt einen unterschiedlichen Trägheitsmomentwert erhält, je nachdem, wie es sich dreht. Eine neue Rotationsachse hat eine andere Formel, auch wenn die physische Form des Objekts gleich bleibt.
Diese Formel ist der "Brute Force" -Ansatz zur Berechnung des Trägheitsmoments. Die anderen bereitgestellten Formeln sind normalerweise nützlicher und stellen die häufigsten Situationen dar, in die Physiker geraten.
Die allgemeine Formel ist nützlich, wenn das Objekt als eine Sammlung diskreter Punkte behandelt werden kann, die addiert werden können. Für ein ausführlicheres Objekt kann es jedoch erforderlich sein, es anzuwenden Infinitesimalrechnung das Integral über ein ganzes Volumen zu nehmen. Die Variable r ist der Radius Vektor vom Punkt zur Drehachse. Die Formel p(r) ist die Massendichtefunktion an jedem Punkt r:
Eine feste Kugel, die sich mit einer Masse um eine Achse dreht, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft M. und Radius R.hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Eine hohle Kugel mit einer dünnen, vernachlässigbaren Wand, die sich mit Masse um eine Achse dreht, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft M. und Radius R.hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Ein fester Zylinder, der sich mit einer Masse um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders verläuft M. und Radius R.hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Ein Hohlzylinder mit einer dünnen, vernachlässigbaren Wand, die sich mit Masse um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders verläuft M. und Radius R.hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Ein Hohlzylinder, der sich mit einer Masse um eine Achse dreht, die durch die Mitte des Zylinders verläuft M.Innenradius R.1und Außenradius R.2hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Hinweis: Wenn Sie diese Formel genommen und eingestellt haben R.1 = R.2 = R. (oder, passender, nahm die mathematische Grenze als R.1 und R.2 nähern sich einem gemeinsamen Radius R.) erhalten Sie die Formel für das Trägheitsmoment eines hohlen dünnwandigen Zylinders.
Eine dünne rechteckige Platte mit einer Masse, die sich um eine Achse dreht, die senkrecht zur Mitte der Platte verläuft M. und Seitenlängen ein und bhat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Eine dünne rechteckige Platte, die sich mit einer Masse um eine Achse entlang einer Kante der Platte dreht M. und Seitenlängen ein und b, wo ein ist der Abstand senkrecht zur Drehachse, hat ein Trägheitsmoment bestimmt durch die Formel:
Eine schlanke Stange, die sich um eine Achse dreht, die durch die Mitte der Stange (senkrecht zu ihrer Länge) mit Masse verläuft M. und Länge L.hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird:
Eine schlanke Stange, die sich um eine Achse dreht, die durch das Ende der Stange (senkrecht zu ihrer Länge) mit Masse verläuft M. und Länge L.hat ein Trägheitsmoment, das durch die Formel bestimmt wird: