Berechnungen mit der Gammafunktion

Das Gammafunktion wird durch die folgende kompliziert aussehende Formel definiert:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Eine Frage, die Menschen haben, wenn sie zum ersten Mal auf diese verwirrende Gleichung stoßen, lautet: „Wie verwenden Sie diese Formel, um Werte der zu berechnen? Gammafunktion? " Dies ist eine wichtige Frage, da es schwierig ist zu wissen, was diese Funktion überhaupt bedeutet und wie alle Symbole stehen zum.

Eine Möglichkeit, diese Frage zu beantworten, besteht darin, mehrere Beispielberechnungen mit der Gammafunktion zu betrachten. Bevor wir dies tun, müssen wir einige Dinge aus dem Kalkül wissen, wie man ein falsches Integral vom Typ I integriert, und das e ist eine mathematische Konstante.

Bevor wir Berechnungen durchführen, untersuchen wir die Motivation hinter diesen Berechnungen. Oft tauchen die Gammafunktionen hinter den Kulissen auf. In Bezug auf die Gammafunktion werden mehrere Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen angegeben. Beispiele hierfür sind die Gammaverteilung und die T-Verteilung der Schüler. Die Bedeutung der Gammafunktion kann nicht überbewertet werden.

Die erste Beispielberechnung, die wir untersuchen werden, besteht darin, den Wert der Gammafunktion für Γ (1) zu ermitteln. Dies wird durch Einstellen gefunden z = 1 in der obigen Formel:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Wir berechnen das obige Integral in zwei Schritten:

• Das unbestimmte Integral ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C.
• Dies ist ein falsches Integral, also haben wir ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Die nächste Beispielberechnung, die wir betrachten werden, ähnelt dem letzten Beispiel, aber wir erhöhen den Wert von z um 1. Wir berechnen nun den Wert der Gammafunktion für Γ (2) durch Setzen z = 2 in der obigen Formel. Die Schritte sind die gleichen wie oben:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Das unbestimmte Integral ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C.. Obwohl wir nur den Wert von erhöht haben z um 1 ist mehr Arbeit erforderlich, um dieses Integral zu berechnen. Um dieses Integral zu finden, müssen wir eine Technik aus der Analysis verwenden, die als bekannt ist Integration in Teilstücken. Wir verwenden jetzt die Integrationsgrenzen wie oben und müssen Folgendes berechnen:

lim_{b → ∞}- Sein ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Ein Ergebnis aus einem Kalkül, das als L’Hospital-Regel bekannt ist, ermöglicht es uns, den Grenzwert zu berechnen_{b → ∞}- Sein ^{- b} = 0. Dies bedeutet, dass der Wert unseres obigen Integrals 1 ist.

Ein weiteres Merkmal der Gammafunktion und eines, das sie mit dem verbindet Fakultät ist die Formel Γ (z +1 ) =zΓ (z ) zum z jede komplexe Zahl mit einem positiven echt Teil. Der Grund, warum dies wahr ist, ist ein direktes Ergebnis der Formel für die Gammafunktion. Durch die Integration nach Teilen können wir diese Eigenschaft der Gammafunktion festlegen.