Was ist der erwartete Wert in der Wahrscheinlichkeit?

Du bist bei einem Karneval und siehst ein Spiel. Für $ 2 würfeln Sie einen sechsseitigen Standardwürfel. Wenn die angezeigte Zahl eine Sechs ist, gewinnen Sie 10 $, andernfalls gewinnen Sie nichts. Wenn Sie versuchen, Geld zu verdienen, liegt es in Ihrem Interesse, das Spiel zu spielen? Um eine solche Frage zu beantworten, benötigen wir das Konzept des erwarteten Werts.

Der erwartete Wert kann wirklich als Mittelwert einer Zufallsvariablen betrachtet werden. Dies bedeutet, dass, wenn Sie ein Wahrscheinlichkeitsexperiment immer wieder durchgeführt haben und die Ergebnisse verfolgt haben, der erwartete Wert der ist durchschnittlich aller erhaltenen Werte. Der erwartete Wert ist das, was Sie auf lange Sicht bei vielen Versuchen eines Glücksspiels erwarten sollten.

Das oben erwähnte Karnevalsspiel ist ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable. Die Variable ist nicht stetig und jedes Ergebnis kommt in einer Zahl zu uns, die von den anderen getrennt werden kann. Den erwarteten Wert eines Spiels mit Ergebnissen ermitteln

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

Für das obige Spiel haben Sie eine 5/6-Wahrscheinlichkeit, nichts zu gewinnen. Der Wert dieses Ergebnisses beträgt -2, da Sie 2 US-Dollar für das Spiel ausgegeben haben. Eine Sechs hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, dass sie auftaucht, und dieser Wert hat ein Ergebnis von 8. Warum 8 und nicht 10? Wieder müssen wir die $ 2 berücksichtigen, die wir für das Spielen bezahlt haben, und 10 - 2 = 8.

Stecken Sie nun diese Werte und Wahrscheinlichkeiten in die erwarteten Wertformel und am Ende: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Dies bedeutet, dass Sie auf lange Sicht jedes Mal, wenn Sie dieses Spiel spielen, durchschnittlich 33 Cent verlieren sollten. Ja, du wirst manchmal gewinnen. Aber du wirst öfter verlieren.

Nehmen wir nun an, dass das Karnevalsspiel leicht modifiziert wurde. Bei der gleichen Teilnahmegebühr von 2 US-Dollar gewinnen Sie 12 US-Dollar, wenn die angezeigte Zahl sechs ist. Andernfalls gewinnen Sie nichts. Der erwartete Wert dieses Spiels ist -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Auf lange Sicht werden Sie kein Geld verlieren, aber Sie werden kein Geld gewinnen. Erwarten Sie nicht, bei Ihrem örtlichen Karneval ein Spiel mit diesen Zahlen zu sehen. Wenn Sie auf lange Sicht kein Geld verlieren, wird der Karneval kein Geld verdienen.

Wenden Sie sich jetzt dem Casino zu. Auf die gleiche Weise wie zuvor können wir den erwarteten Wert von Glücksspielen wie Roulette berechnen. In den USA hat ein Roulette-Rad 38 nummerierte Schlitze von 1 bis 36, 0 und 00. Die Hälfte der 1-36 ist rot, die Hälfte ist schwarz. Sowohl 0 als auch 00 sind grün. Ein Ball landet zufällig in einem der Slots und Wetten werden dort platziert, wo der Ball landen wird.

Eine der einfachsten Wetten ist es, auf Rot zu setzen. Wenn Sie hier 1 $ setzen und der Ball auf einer roten Zahl im Rad landet, gewinnen Sie 2 $. Wenn der Ball auf einem schwarzen oder grünen Feld im Rad landet, gewinnen Sie nichts. Was ist der erwartete Wert einer solchen Wette? Da es 18 rote Felder gibt, besteht eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 18/38 mit einem Nettogewinn von 1 $. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 20/38, dass Sie Ihren anfänglichen Einsatz von 1 $ verlieren. Der erwartete Wert dieser Wette in Roulette ist 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, was ungefähr 5,3 Cent entspricht. Hier hat das Haus einen leichten Rand (wie bei allen Casinospielen).

Betrachten Sie als weiteres Beispiel a Lotterie. Obwohl Millionen für den Preis eines 1-Dollar-Tickets gewonnen werden können, zeigt der erwartete Wert eines Lotteriespiels, wie unfair es aufgebaut ist. Angenommen, Sie wählen für 1 USD sechs Zahlen von 1 bis 48. Die Wahrscheinlichkeit, alle sechs Zahlen richtig zu wählen, beträgt 1 / 12,271,512. Wenn Sie 1 Million Dollar gewinnen, um alle sechs richtig zu machen, wie hoch ist der erwartete Wert dieser Lotterie? Die möglichen Werte sind - 1 $ für das Verlieren und 999.999 $ für das Gewinnen (wieder müssen wir die Kosten für das Spielen berücksichtigen und diese von den Gewinnen abziehen). Dies gibt uns einen erwarteten Wert von:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Wenn Sie also immer wieder Lotto spielen, verlieren Sie auf lange Sicht jedes Mal, wenn Sie spielen, ungefähr 92 Cent - fast den gesamten Ticketpreis.

Alle obigen Beispiele beziehen sich auf eine diskrete zufällige Variable. Es ist jedoch auch möglich, den erwarteten Wert für eine kontinuierliche Zufallsvariable zu definieren. In diesem Fall müssen wir lediglich die Summation in unserer Formel durch ein Integral ersetzen.

Es ist wichtig zu bedenken, dass der erwartete Wert der Durchschnitt nach vielen Versuchen mit a ist zufälliger Prozess. Kurzfristig kann der Durchschnitt einer Zufallsvariablen erheblich vom erwarteten Wert abweichen.