Das Median eines Datensatzes ist der Mittelpunkt, an dem genau die Hälfte der Datenwerte kleiner oder gleich dem Median ist. In ähnlicher Weise können wir über den Median von a nachdenken kontinuierlichWahrscheinlichkeitsverteilung, aber anstatt den Mittelwert in einem Datensatz zu finden, finden wir die Mitte der Verteilung auf andere Weise.
Die Gesamtfläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist 1, was 100% darstellt, und als Ergebnis kann die Hälfte davon durch die Hälfte oder 50% dargestellt werden. Eine der großen Ideen der mathematischen Statistik ist, dass die Wahrscheinlichkeit durch die Fläche unter der Kurve der dargestellt wird Dichtefunktion, die durch ein Integral berechnet wird und somit der Median einer kontinuierlichen Verteilung ist der Punkt auf das reelle Zahl Linie, wo genau die Hälfte der Fläche links liegt.
Dies kann durch das folgende falsche Integral prägnanter ausgedrückt werden. Der Median der kontinuierlichen Zufallsvariablen X. mit Dichtefunktion f( x) ist der Wert M so, dass:
0.5=∫m−∞f(x)dx
Median für die Exponentialverteilung
Wir berechnen nun den Median für die Exponentialverteilung Exp (A). Eine Zufallsvariable mit dieser Verteilung hat eine Dichtefunktion f(x) = e-x/EIN/ A für x jede nichtnegative reelle Zahl. Die Funktion enthält auch die mathematische Konstante eungefähr 2,71828.
Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für jeden negativen Wert von Null ist xAlles, was wir tun müssen, ist Folgendes zu integrieren und nach M zu lösen:
0,5 = ~ 0 M f (x) dx
Da das Integral ∫ e-x/EIN/Anzeigex = -e-x/EINDas Ergebnis ist das
0,5 = -e-M / A + 1
Dies bedeutet, dass 0,5 = e-M / A. und nachdem wir den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Gleichung genommen haben, haben wir:
ln (1/2) = -M / A.
Da 1/2 = 2-1Durch Eigenschaften von Logarithmen schreiben wir:
- ln2 = -M / A.
Das Multiplizieren beider Seiten mit A ergibt das Ergebnis, dass der Median M = A ln2 ist.
Median-Mean-Ungleichung in der Statistik
Eine Konsequenz dieses Ergebnisses sollte erwähnt werden: Der Mittelwert der Exponentialverteilung Exp (A) ist A, und da ln2 kleiner als 1 ist, folgt, dass das Produkt Aln2 kleiner als A ist. Dies bedeutet, dass der Median der Exponentialverteilung kleiner als der Mittelwert ist.
Dies ist sinnvoll, wenn wir über den Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nachdenken. Aufgrund des langen Schwanzes ist diese Verteilung nach rechts geneigt. Wenn eine Verteilung nach rechts verschoben ist, befindet sich der Mittelwert häufig rechts vom Median.
Für die statistische Analyse bedeutet dies, dass wir oft vorhersagen können, dass der Mittelwert und der Median nicht direkt sind Korrelieren Sie mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Daten nach rechts verschoben sind, was als Beweis für die mittlere mittlere Ungleichheit ausgedrückt werden kann bekannt als Chebyshevs Ungleichung.
Stellen Sie sich als Beispiel einen Datensatz vor, der besagt, dass eine Person in 10 Stunden insgesamt 30 Besucher empfängt, wobei die durchschnittliche Wartezeit für einen Besucher 20 Minuten beträgt. Während der Datensatz möglicherweise anzeigt, dass die mittlere Wartezeit zwischen 20 und 30 Minuten liegen würde, wenn mehr als die Hälfte dieser Besucher in den ersten fünf kommen würde Std.