Was ist Korrelation in der Statistik?

Manchmal kommen numerische Daten paarweise vor. Vielleicht ein Paläontologe misst die Länge von Femur (Beinknochen) und Humerus (Armknochen) in fünf Fossilien derselben Dinosaurierart. Es kann sinnvoll sein, die Armlängen getrennt von den Beinlängen zu betrachten und Dinge wie den Mittelwert oder die Standardabweichung zu berechnen. Was aber, wenn der Forscher neugierig ist, ob es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Messungen gibt? Es reicht nicht aus, nur die Arme getrennt von den Beinen zu betrachten. Stattdessen sollte der Paläontologe die Knochenlängen für jedes Skelett paaren und einen Bereich von verwenden Statistiken als Korrelation bekannt.

Was ist Korrelation? Im obigen Beispiel wird angenommen, dass der Forscher die Daten untersucht und das nicht sehr überraschende erreicht hat Ergebnis, dass Dinosaurierfossilien mit längeren Armen auch längere Beine hatten und Fossilien mit kürzeren Armen hatten kürzere Beine. Ein Streudiagramm der Daten zeigte, dass die Datenpunkte alle in der Nähe einer geraden Linie gruppiert waren. Der Forscher würde dann sagen, dass es eine starke geradlinige Beziehung gibt, oder

Da jeder Datenpunkt zwei Zahlen darstellt, ist ein zweidimensionales Streudiagramm eine große Hilfe bei der Visualisierung der Daten. Angenommen, wir haben tatsächlich die Dinosaurierdaten in der Hand und die fünf Fossilien haben die folgenden Maße:

1. Femur 50 cm, Humerus 41 cm
2. Femur 57 cm, Humerus 61 cm
3. Femur 61 cm, Humerus 71 cm
4. Femur 66 cm, Humerus 70 cm
5. Femur 75 cm, Humerus 82 cm

Ein Streudiagramm der Daten mit Femurmessung in horizontaler Richtung und Humerusmessung in vertikaler Richtung ergibt das obige Diagramm. Jeder Punkt repräsentiert die Messungen eines der Skelette. Zum Beispiel entspricht der Punkt unten links dem Skelett Nr. 1. Der Punkt oben rechts ist Skelett Nr. 5.

Es sieht sicher so aus, als könnten wir eine gerade Linie zeichnen, die sehr nahe an allen Punkten liegt. Aber wie können wir sicher sagen? Nähe liegt im Auge des Betrachters. Woher wissen wir, dass unsere Definitionen von "Nähe" mit denen anderer übereinstimmen? Gibt es eine Möglichkeit, diese Nähe zu quantifizieren?

Um objektiv zu messen, wie nahe die Daten an einer geraden Linie liegen, hilft der Korrelationskoeffizient. Das Korrelationskoeffizient, typischerweise bezeichnet rist eine reelle Zahl zwischen -1 und 1. Der Wert von r Misst die Stärke einer Korrelation basierend auf einer Formel, wodurch jegliche Subjektivität im Prozess beseitigt wird. Bei der Interpretation des Werts von sind verschiedene Richtlinien zu beachten r.

• Wenn r = 0, dann sind die Punkte ein komplettes Durcheinander mit absolut keiner geraden Beziehung zwischen den Daten.
• Wenn r = -1 oder r = 1, dann richten sich alle Datenpunkte perfekt auf einer Linie aus.
• Wenn r Ist ein anderer Wert als diese Extreme, dann ist das Ergebnis eine nicht perfekte Anpassung einer geraden Linie. In realen Datensätzen ist dies das häufigste Ergebnis.
• Wenn r ist positiv, dann steigt die Linie mit a positive Steigung. Wenn r ist negativ, dann geht die Linie mit negativer Steigung nach unten.

Die Formel für den Korrelationskoeffizienten r ist kompliziert, wie hier zu sehen ist. Die Bestandteile der Formel sind die Mittelwerte und Standardabweichungen beider numerischer Datensätze sowie die Anzahl der Datenpunkte. Für die meisten praktischen Anwendungen r ist mühsam von Hand zu berechnen. Wenn unsere Daten in einen Taschenrechner oder ein Tabellenkalkulationsprogramm mit eingegeben wurden statistische Befehle, dann gibt es normalerweise eine eingebaute Funktion zu berechnen r.

Obwohl Korrelation ein leistungsfähiges Werkzeug ist, gibt es einige Einschränkungen bei der Verwendung:

• Die Korrelation sagt nicht alles über die Daten aus. Mittelwerte und Standardabweichungen sind weiterhin wichtig.
• Die Daten können durch eine Kurve beschrieben werden, die komplizierter als eine gerade Linie ist, dies wird jedoch bei der Berechnung von nicht angezeigt r.
• Ausreißer beeinflussen den Korrelationskoeffizienten stark. Wenn wir in unseren Daten Ausreißer sehen, sollten wir vorsichtig sein, welche Schlussfolgerungen wir aus dem Wert von ziehen r.
• Nur weil zwei Datensätze korreliert sind, heißt das nicht, dass einer der ist Ursache des anderen.