Was ist die negative Binomialverteilung?

Die negative Binomialverteilung ist a Wahrscheinlichkeitsverteilung das wird mit diskreten Zufallsvariablen verwendet. Diese Art der Verteilung betrifft die Anzahl der Versuche, die durchgeführt werden müssen, um eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Wie wir sehen werden, hängt die negative Binomialverteilung mit dem zusammen Binomialverteilung. Zusätzlich verallgemeinert diese Verteilung die geometrische Verteilung.

Wir werden zunächst sowohl die Einstellung als auch die Bedingungen betrachten, die zu einer negativen Binomialverteilung führen. Viele dieser Bedingungen sind einer Binomialeinstellung sehr ähnlich.

1. Wir haben ein Bernoulli-Experiment. Dies bedeutet, dass jeder von uns durchgeführte Versuch einen genau definierten Erfolg und Misserfolg hat und dass dies die einzigen Ergebnisse sind.
2. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist konstant, egal wie oft wir das Experiment durchführen. Wir bezeichnen diese konstante Wahrscheinlichkeit mit a p.
3. Das Experiment wird für wiederholt
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   X. unabhängige Studien, was bedeutet, dass das Ergebnis einer Studie keinen Einfluss auf das Ergebnis einer nachfolgenden Studie hat.

Diese drei Bedingungen sind identisch mit denen in einer Binomialverteilung. Der Unterschied besteht darin, dass eine binomiale Zufallsvariable eine feste Anzahl von Versuchen hat n. Die einzigen Werte von X. sind 0, 1, 2,..., n, Das ist also eine endliche Verteilung.

Eine negative Binomialverteilung betrifft die Anzahl der Versuche X. das muss geschehen, bis wir haben r Erfolge. Die Nummer r ist eine ganze Zahl, die wir auswählen, bevor wir mit der Durchführung unserer Versuche beginnen. Die Zufallsvariable X. ist immer noch diskret. Jetzt kann die Zufallsvariable jedoch Werte von annehmen X = r, r + 1, r + 2,... Diese Zufallsvariable ist zählbar unendlich, da es beliebig lange dauern kann, bis wir sie erhalten r Erfolge.

Um eine negative Binomialverteilung besser verstehen zu können, lohnt es sich, ein Beispiel zu betrachten. Angenommen, wir werfen eine faire Münze und stellen die Frage: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir im ersten drei Köpfe bekommen? X. Münzwürfe? "Dies ist eine Situation, die eine negative Binomialverteilung erfordert.

Die Münzwürfe haben zwei mögliche Ergebnisse, die Erfolgswahrscheinlichkeit ist konstant 1/2 und die Versuche sind unabhängig voneinander. Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, die ersten drei Köpfe danach zu bekommen X. Münzwürfe. Wir müssen also mindestens dreimal die Münze werfen. Wir drehen dann weiter, bis der dritte Kopf erscheint.

Um Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit einer negativen Binomialverteilung zu berechnen, benötigen wir weitere Informationen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion kennen.

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine negative Binomialverteilung kann mit ein wenig Nachdenken entwickelt werden. Jeder Versuch hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p. Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, bedeutet dies, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit konstant ist (1 - p ).

Das rDer Erfolg muss für die xth und letzte Prüfung. Der Vorherige x - 1 Versuche müssen genau enthalten r - 1 Erfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie dies geschehen kann, ergibt sich aus der Anzahl der Kombinationen:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Darüber hinaus haben wir unabhängige Ereignisse, sodass wir unsere Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren können. Wenn wir all dies zusammenfassen, erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

f(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Wir sind jetzt in der Lage zu verstehen, warum diese Zufallsvariable eine negative Binomialverteilung hat. Die Anzahl der Kombinationen, auf die wir oben gestoßen sind, kann durch Festlegen unterschiedlich geschrieben werden x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. (- r - (k + 1) / k!.

Hier sehen wir das Auftreten eines negativen Binomialkoeffizienten, der verwendet wird, wenn wir einen Binomialausdruck (a + b) auf eine negative Potenz erhöhen.

Es ist wichtig, den Mittelwert einer Verteilung zu kennen, da dies eine Möglichkeit ist, das Zentrum der Verteilung zu bezeichnen. Der Mittelwert dieser Art von Zufallsvariablen ergibt sich aus ihrem erwarteten Wert und ist gleich r / p. Wir können dies sorgfältig beweisen, indem wir das verwenden Momenterzeugungsfunktion für diese Verteilung.

Die Intuition führt uns auch zu diesem Ausdruck. Angenommen, wir führen eine Reihe von Versuchen durch n₁ bis wir erhalten r Erfolge. Und dann machen wir das noch einmal, nur diesmal dauert es n₂ Versuche. Wir setzen dies immer wieder fort, bis wir eine große Anzahl von Versuchsgruppen haben N. = n₁ + n₂ +... +n_k.

Jedes von diesen k Versuche enthält r Erfolge, und so haben wir insgesamt kr Erfolge. Wenn N. ist groß, dann würden wir erwarten zu sehen Np Erfolge. So setzen wir diese zusammen und haben kr = Np.

Wir machen Algebra und finden das N / k = r / p. Der Bruch auf der linken Seite dieser Gleichung ist die durchschnittliche Anzahl von Versuchen, die für jeden unserer Versuche erforderlich sind k Gruppen von Versuchen. Mit anderen Worten, dies ist die erwartete Anzahl von Malen, um das Experiment durchzuführen, so dass wir insgesamt haben r Erfolge. Dies ist genau die Erwartung, die wir finden möchten. Wir sehen, dass dies der Formel entspricht r / p.

Die Varianz der negativen Binomialverteilung kann auch unter Verwendung der Momenterzeugungsfunktion berechnet werden. Wenn wir dies tun, sehen wir, dass die Varianz dieser Verteilung durch die folgende Formel gegeben ist:

r (1 - p)/p²

Die Momenterzeugungsfunktion für diese Art von Zufallsvariablen ist ziemlich kompliziert. Es sei daran erinnert, dass die Momenterzeugungsfunktion als der erwartete Wert E [e^tX]. Wenn wir diese Definition mit unserer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion verwenden, haben wir:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXp^r(1 - p)^{x - r}

Nach einiger Algebra wird dies M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Wir haben oben gesehen, wie die negative Binomialverteilung in vielerlei Hinsicht der Binomialverteilung ähnlich ist. Zusätzlich zu diesem Zusammenhang ist die negative Binomialverteilung eine allgemeinere Version einer geometrischen Verteilung.

Eine geometrische Zufallsvariable X. zählt die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, bevor der erste Erfolg eintritt. Es ist leicht zu erkennen, dass dies genau die negative Binomialverteilung ist, aber mit r gleich eins.

Andere Formulierungen der negativen Binomialverteilung existieren. Einige Lehrbücher definieren X. die Anzahl der Versuche bis sein r Fehler treten auf.

Wir werden uns ein Beispielproblem ansehen, um zu sehen, wie mit der negativen Binomialverteilung gearbeitet wird. Angenommen, ein Basketballspieler ist zu 80% Freiwurfschütze. Nehmen Sie weiter an, dass ein Freiwurf unabhängig vom nächsten ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass für diesen Spieler der achte Korb beim zehnten Freiwurf gemacht wird?

Wir sehen, dass wir eine Einstellung für eine negative Binomialverteilung haben. Die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 0,8, daher beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit 0,2. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit von X = 10 bestimmen, wenn r = 8 ist.

Wir fügen diese Werte in unsere Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ein:

f (10) = C (10 & supmin; ¹, 8 & supmin; ¹) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², was ungefähr 24% ist.

Wir könnten dann fragen, wie viele Freiwürfe durchschnittlich geschossen werden, bevor dieser Spieler acht davon macht. Da der erwartete Wert 8 / 0,8 = 10 ist, ist dies die Anzahl der Schüsse.