Momentgenerierende Funktionen zufälliger Variablen

Eine Möglichkeit, den Mittelwert und die Varianz von a zu berechnen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist das zu finden erwartete Werte der Zufallsvariablen X. und X.². Wir verwenden die Notation E.(X.) und E.(X.²), um diese erwarteten Werte zu bezeichnen. Im Allgemeinen ist es schwierig zu berechnen E.(X.) und E.(X.²) direkt. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, verwenden wir eine fortgeschrittenere mathematische Theorie und Berechnung. Das Endergebnis erleichtert unsere Berechnungen.

Die Strategie für dieses Problem besteht darin, eine neue Funktion einer neuen Variablen zu definieren t das nennt man die Momenterzeugungsfunktion. Diese Funktion ermöglicht es uns, Momente zu berechnen, indem wir einfach Ableitungen nehmen.

Bevor wir die Momenterzeugungsfunktion definieren, setzen wir zunächst die Bühne mit Notation und Definitionen. Wir lassen X. sei ein diskrete Zufallsvariable. Diese Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion f(x). Der Probenraum, mit dem wir arbeiten, wird mit bezeichnet S..

Anstatt den erwarteten Wert von zu berechnen X.wollen wir den erwarteten Wert einer Exponentialfunktion berechnen, die sich auf bezieht X.. Wenn es ein positives gibt reelle Zahlr so dass E.(e^tX) existiert und ist für alle endlich t im Intervall [-r, r], dann können wir die Momenterzeugungsfunktion von definieren X..

Die Momenterzeugungsfunktion ist der erwartete Wert der obigen Exponentialfunktion. Mit anderen Worten, wir sagen, dass der Moment erzeugende Funktion von X. ist gegeben durch:

M.(t) = E.(e^tX)

Dieser erwartete Wert ist die Formel Σ e^txf (x), wo die Summe alle übernommen wird x in dem ProbenraumS.. Dies kann eine endliche oder unendliche Summe sein, abhängig vom verwendeten Probenraum.

Die Momenterzeugungsfunktion verfügt über viele Funktionen, die mit anderen Themen der Wahrscheinlichkeits- und mathematischen Statistik in Verbindung stehen. Einige der wichtigsten Funktionen sind:

• Der Koeffizient von e^tb ist die Wahrscheinlichkeit, dass X. = b.
• Momenterzeugungsfunktionen besitzen eine Einzigartigkeitseigenschaft. Wenn die Momenterzeugungsfunktionen für zwei Zufallsvariablen übereinstimmen, müssen die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen gleich sein. Mit anderen Worten beschreiben die Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Momenterzeugungsfunktionen können verwendet werden, um Momente von zu berechnen X..

Das letzte Element in der obigen Liste erläutert den Namen der Funktionen zur Momentgenerierung und deren Nützlichkeit. Einige fortgeschrittene Mathematik sagt, dass unter den Bedingungen, die wir dargelegt haben, die Ableitung einer beliebigen Reihenfolge der Funktion M. (t) existiert für wann t = 0. Darüber hinaus können wir in diesem Fall die Reihenfolge der Summierung und Differenzierung in Bezug auf ändern t um die folgenden Formeln zu erhalten (alle Summierungen liegen über den Werten von x im Probenraum S.):

• M.’(t) = Σ xe^txf (x)
• M.’’(t) = Σ x²e^txf (x)
• M.’’’(t) = Σ x³e^txf (x)
• M.⁽ⁿ⁾’(t) = Σ xⁿe^txf (x)

Wenn wir setzen t = 0 in den obigen Formeln, dann die e^tx Begriff wird e⁰ = 1. So erhalten wir Formeln für die Momente der Zufallsvariablen X.:

• M.’(0) = E.(X.)
• M.’’(0) = E.(X.²)
• M.’’’(0) = E.(X.³)
• M.⁽ⁿ⁾(0) = E.(X.ⁿ)

Dies bedeutet, dass wenn die Momenterzeugungsfunktion für eine bestimmte Zufallsvariable existiert, wir ihren Mittelwert und ihre Varianz in Form von Ableitungen der Momenterzeugungsfunktion finden können. Der Mittelwert ist M.’(0) und die Varianz ist M.’’(0) – [M.’(0)]².

Zusammenfassend mussten wir uns in eine ziemlich leistungsstarke Mathematik vertiefen, so dass einige Dinge beschönigt wurden. Obwohl wir für das oben Gesagte einen Kalkül verwenden müssen, ist unsere mathematische Arbeit am Ende in der Regel einfacher als die Berechnung der Momente direkt aus der Definition.