Wir lernen ziemlich früh in unserer Mathematikkarriere, dass die Fakultät, definiert für nicht negative ganze Zahlen nist eine Möglichkeit, die wiederholte Multiplikation zu beschreiben. Es wird durch die Verwendung eines Ausrufezeichens gekennzeichnet. Beispielsweise:
Die einzige Ausnahme von dieser Definition ist Null Fakultät, wobei 0! = 1. Wenn wir diese Werte für die Fakultät betrachten, könnten wir uns paaren n mit n!. Dies würde uns die Punkte (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) usw. geben auf.
Die Definition der Gammafunktion ist sehr komplex. Es handelt sich um eine kompliziert aussehende Formel, die sehr seltsam aussieht. Die Gammafunktion verwendet in ihrer Definition einen Kalkül sowie die Nummer e Im Gegensatz zu bekannteren Funktionen wie Polynomen oder trigonometrischen Funktionen wird die Gammafunktion als das falsche Integral einer anderen Funktion definiert.
Die Definition der Gammafunktion kann verwendet werden, um eine Reihe von Identitäten zu demonstrieren. Eines der wichtigsten davon ist, dass Γ (
z + 1 ) = z Γ( z ). Wir können dies und die Tatsache verwenden, dass Γ (1) = 1 aus der direkten Berechnung:Wir müssen aber nicht nur ganze Zahlen in die Gammafunktion eingeben. Jede komplexe Zahl, die keine negative ganze Zahl ist, liegt im Bereich der Gammafunktion. Dies bedeutet, dass wir die Fakultät auf andere Zahlen als nichtnegative ganze Zahlen erweitern können. Von diesen Werten ist eines der bekanntesten (und überraschendsten) Ergebnisse, dass Γ (1/2) = √π.
Ein anderes Ergebnis, das dem letzten ähnlich ist, ist Γ (1/2) = -2π. In der Tat erzeugt die Gammafunktion immer eine Ausgabe eines Vielfachen der Quadratwurzel von pi, wenn ein ungerades Vielfaches von 1/2 in die Funktion eingegeben wird.
Die Gammafunktion zeigt sich in vielen scheinbar nicht verwandten Bereichen der Mathematik. Insbesondere die Verallgemeinerung der durch die Gammafunktion bereitgestellten Fakultät ist bei einigen Kombinatorik- und Wahrscheinlichkeitsproblemen hilfreich. Etwas Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden direkt in Bezug auf die Gammafunktion definiert. Zum Beispiel wird die Gammaverteilung als Gammafunktion angegeben. Diese Verteilung kann verwendet werden, um das Zeitintervall zwischen Erdbeben zu modellieren. Verteilung des Schülers, die für Daten verwendet werden können, bei denen eine unbekannte Populationsstandardabweichung vorliegt, und die Chi-Quadrat-Verteilung werden auch in Bezug auf die Gammafunktion definiert.