Bedingte Wahrscheinlichkeit: Notation und Beispiele

Ein einfaches Beispiel für bedingt Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus einem Standardkartenstapel gezogene Karte ein König ist. Es gibt insgesamt vier Könige von 52 Karten, und die Wahrscheinlichkeit beträgt einfach 4/52. Im Zusammenhang mit dieser Berechnung steht die folgende Frage: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir angesichts dessen einen König ziehen? Wir haben bereits eine Karte aus dem Deck gezogen und es ist ein Ass? "Hier betrachten wir den Inhalt des Decks von Karten. Es gibt noch vier Könige, aber jetzt sind nur noch 51 Karten im Deck. Die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, wenn bereits ein Ass gezogen wurde, beträgt 4/51.

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis aufgetreten ist. Wenn wir diese Ereignisse benennen EIN und B., dann können wir über die Wahrscheinlichkeit von sprechen EIN gegeben B.. Wir könnten uns auch auf die Wahrscheinlichkeit von beziehen EIN abhängig von B..

Die Notation für die bedingte Wahrscheinlichkeit variiert von Lehrbuch zu Lehrbuch. In allen Notationen ist der Hinweis, dass die Wahrscheinlichkeit, auf die wir uns beziehen, von einem anderen Ereignis abhängt. Eine der häufigsten Notationen für die Wahrscheinlichkeit von EIN gegeben B. ist P (A | B). Eine andere verwendete Notation ist P._B.( EIN ).

Es gibt eine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die dies mit der Wahrscheinlichkeit von verbindet EIN und B.:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Im Wesentlichen sagt diese Formel aus, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden soll EIN angesichts der Veranstaltung B.Wir ändern unseren Probenraum so, dass er nur aus der Menge besteht B.. Dabei berücksichtigen wir nicht die gesamte Veranstaltung EIN, aber nur der Teil von EIN das ist auch enthalten in B.. Das soeben beschriebene Set kann in bekannteren Begriffen als das identifiziert werden Überschneidung von EIN und B..

Wir können benutzen Algebra um die obige Formel anders auszudrücken:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Wir werden das Beispiel, mit dem wir begonnen haben, angesichts dieser Informationen noch einmal betrachten. Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, einen König zu ziehen, da bereits ein Ass gezogen wurde. Also das Ereignis EIN ist, dass wir einen König zeichnen. Veranstaltung B. ist, dass wir ein Ass ziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten und wir ein Ass und dann einen König ziehen, entspricht P (A ∩ B). Der Wert dieser Wahrscheinlichkeit beträgt 12/2652. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B., dass wir ein Ass ziehen, ist 4/52. Wir verwenden also die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, der gegeben ist, als ein Ass gezogen wurde, (16/2652) / (4/52) = 4/51 ist.

Als weiteres Beispiel betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsexperiment, in dem wir uns befinden Wirf zwei Würfel. Eine Frage, die wir stellen könnten, lautet: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Drei gewürfelt haben, wenn wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben?"

Hier die Veranstaltung EIN ist, dass wir eine Drei gewürfelt haben, und das Ereignis B. ist, dass wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben. Es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten, zwei Würfel zu würfeln. Von diesen 36 Möglichkeiten können wir eine Summe von weniger als sechs auf zehn Arten würfeln:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Es gibt einige Fälle, in denen die bedingte Wahrscheinlichkeit von EIN angesichts der Veranstaltung B. ist gleich der Wahrscheinlichkeit von EIN. In dieser Situation sagen wir, dass die Ereignisse EIN und B. sind voneinander unabhängig. Die obige Formel lautet:

P (A | B) = P (A) = P (A ≤ B) / P (B),

und wir stellen die Formel wieder her, dass für unabhängige Ereignisse die Wahrscheinlichkeit von beiden EIN und B. wird durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse gefunden:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, bedeutet dies, dass ein Ereignis keine Auswirkung auf das andere hat. Das Werfen einer Münze und einer anderen ist ein Beispiel für unabhängige Ereignisse. Ein Münzwurf hat keine Auswirkung auf den anderen.

Achten Sie sehr darauf, welches Ereignis vom anderen abhängt. Allgemein P (A | B) ist ungleich zu P (B | A). Das ist die Wahrscheinlichkeit von EIN angesichts der Veranstaltung B. ist nicht gleich der Wahrscheinlichkeit von B. angesichts der Veranstaltung EIN.

In einem Beispiel oben haben wir gesehen, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln die Wahrscheinlichkeit, drei zu würfeln, 4/10 betrug, da wir eine Summe von weniger als sechs gewürfelt haben. Wie hoch ist andererseits die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von weniger als sechs zu würfeln, wenn wir eine Drei gewürfelt haben? Die Wahrscheinlichkeit, eine Drei und eine Summe von weniger als sechs zu würfeln, beträgt 4/36. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Drei zu würfeln, beträgt 11/36. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist in diesem Fall also (4/36) / (11/36) = 4/11.