Was sind De Morgans Gesetze?

Mathematische Statistik erfordert manchmal die Verwendung der Mengenlehre. De Morgans Gesetze sind zwei Aussagen, die die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Mengenoperationen beschreiben. Die Gesetze gelten für zwei beliebige Sätze EIN und B.:

1. (EIN ∩ B.)^C. = EIN^C. U. B.^C..
2. (EIN U. B.)^C. = EIN^C. ∩ B.^C..

Nachdem wir erklärt haben, was jede dieser Aussagen bedeutet, werden wir uns ein Beispiel für jede dieser Aussagen ansehen.

Um zu verstehen, was De Morgans Gesetze sagen, müssen wir uns an einige Definitionen von Mengenoperationen erinnern. Insbesondere müssen wir über die wissen Union und Überschneidung von zwei Sätzen und dem Komplement eines Satzes.

De Morgans Gesetze beziehen sich auf das Zusammenspiel von Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzung. Erinnere dich daran:

• Der Schnittpunkt der Mengen EIN und B. besteht aus allen Elementen, die beiden gemeinsam sind EIN und B.. Der Schnittpunkt ist mit gekennzeichnet EIN ∩ B..
• Die Vereinigung der Sets
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  EIN und B. besteht aus allen Elementen, die in beiden EIN oder B., einschließlich der Elemente in beiden Sätzen. Der Schnittpunkt wird mit A U B bezeichnet.
• Die Ergänzung des Sets EIN besteht aus allen Elementen, die keine Elemente von sind EIN. Dieses Komplement wird mit A bezeichnet^C..

Nachdem wir uns an diese elementaren Operationen erinnert haben, werden wir die Erklärung von De Morgans Gesetzen sehen. Für jedes Satzpaar EIN und B. wir haben:

1. (EIN ∩ B.)^C. = EIN^C. U. B.^C.
2. (EIN U. B.)^C. = EIN^C. ∩ B.^C.

Diese beiden Aussagen können anhand von Venn-Diagrammen veranschaulicht werden. Wie unten zu sehen ist, können wir dies anhand eines Beispiels demonstrieren. Um zu zeigen, dass diese Aussagen wahr sind, müssen wir beweise sie durch Verwendung von Definitionen von Operationen der Mengenlehre.

Betrachten Sie zum Beispiel die Menge von reale Nummern von 0 bis 5. Wir schreiben dies in Intervallnotation [0, 5]. Innerhalb dieses Sets haben wir EIN = [1, 3] und B. = [2, 4]. Darüber hinaus haben wir nach Anwendung unserer elementaren Operationen:

• Die Ergänzung EIN^C. = [0, 1) U (3, 5]
• Die Ergänzung B.^C. = [0, 2) U (4, 5]
• Die Union EIN U. B. = [1, 4]
• Der Schnittpunkt EIN ∩ B. = [2, 3]

Wir beginnen mit der Berechnung der Union EIN^C. U. B.^C.. Wir sehen, dass die Vereinigung von [0, 1) U (3, 5] mit [0, 2) U (4, 5] [0, 2) U (3, 5] ist. Der Schnittpunkt EIN ∩ B. ist [2, 3]. Wir sehen, dass das Komplement dieser Menge [2, 3] auch [0, 2) U (3, 5] ist. Auf diese Weise haben wir das gezeigt EIN^C. U. B.^C. = (EIN ∩ B.)^C..

Nun sehen wir, dass der Schnittpunkt von [0, 1) U (3, 5] mit [0, 2) U (4, 5] [0, 1) U (4, 5] ist. Wir sehen auch, dass das Komplement von [1, 4] auch [0, 1) U (4, 5] ist. Auf diese Weise haben wir das gezeigt EIN^C. ∩ B.^C. = (EIN U. B.)^C..

Während der gesamten Geschichte der Logik haben Menschen wie Aristoteles und William of Ockham haben Erklärungen abgegeben, die den Gesetzen von De Morgan entsprechen.

De Morgans Gesetze sind nach Augustus De Morgan benannt, der von 1806 bis 1871 lebte. Obwohl er diese Gesetze nicht entdeckte, war er der erste, der diese Aussagen formal unter Verwendung einer mathematischen Formulierung in der Aussagenlogik einführte.