Konfidenzintervall für einen Mittelwert, wenn wir Sigma kennen

Im InferenzstatistikEines der Hauptziele ist die Schätzung eines Unbekannten PopulationParameter. Sie beginnen mit einem statistische Stichprobeund daraus können Sie einen Wertebereich für den Parameter bestimmen. Dieser Wertebereich wird als a bezeichnet Konfidenzintervall.

Konfidenzintervalle sind sich in einigen Punkten ähnlich. Erstens haben viele zweiseitige Konfidenzintervalle dieselbe Form:

Schätzen ± Fehlermarge

Zweitens sind die Schritte zum Berechnen von Konfidenzintervallen sehr ähnlich, unabhängig von der Art des Konfidenzintervalls, das Sie suchen. Die spezifische Art des Konfidenzintervalls, die unten untersucht wird, ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert, wenn Sie die Population kennen Standardabweichung. Nehmen Sie außerdem an, dass Sie mit einer bestimmten Bevölkerung arbeiten normal verteilt.

Im Folgenden finden Sie einen Prozess zum Ermitteln des gewünschten Konfidenzintervalls. Obwohl alle Schritte wichtig sind, ist der erste besonders wichtig:

1. Überprüfen Sie die Bedingungen: Stellen Sie zunächst sicher, dass die Bedingungen für Ihr Konfidenzintervall erfüllt sind. Angenommen, Sie kennen den Wert der Populationsstandardabweichung, bezeichnet mit griechischer Brief Sigma σ. Nehmen Sie auch eine Normalverteilung an.
2. Schätzung berechnen: Schätzen Sie den Populationsparameter - in diesem Fall den Populationsmittelwert - mithilfe einer Statistik, die in diesem Problem der Stichprobenmittelwert ist. Dies beinhaltet die Bildung eines einfache Zufallsstichprobe aus der Bevölkerung. Manchmal können Sie annehmen, dass Ihre Stichprobe a ist einfache Zufallsstichprobe, auch wenn es nicht der strengen Definition entspricht.
3. Kritischer Wert: Erhalten Sie den kritischen Wert z^* das entspricht Ihrem Vertrauensniveau. Diese Werte werden durch Konsultation von a ermittelt Tabelle der Z-Scores oder mithilfe der Software. Sie können eine Z-Score-Tabelle verwenden, da Sie den Wert der Populationsstandardabweichung kennen und davon ausgehen, dass die Population normal verteilt ist. Übliche kritische Werte sind 1,645 für ein Konfidenzniveau von 90 Prozent, 1,960 für ein Konfidenzniveau von 95 Prozent und 2,576 für ein Konfidenzniveau von 99 Prozent.
4. Fehlermarge: Berechnen Sie die Fehlerquote z^* σ /√n, wo n ist die Größe der einfachen Zufallsstichprobe, die Sie gebildet haben.
5. Daraus schließen: Stellen Sie zum Abschluss die Schätzung und die Fehlerquote zusammen. Dies kann entweder ausgedrückt werden Schätzen ± Fehlermarge oder als Schätzung - Fehlerquote zu Schätzung + Fehlerquote. Stellen Sie sicher, dass Sie dies klar angeben das Maß an Vertrauen Das hängt mit Ihrem Konfidenzintervall zusammen.

Um zu sehen, wie Sie ein Konfidenzintervall erstellen können, arbeiten Sie ein Beispiel durch. Angenommen, Sie wissen, dass die IQ-Werte aller ankommenden Studienanfänger normalerweise mit einer Standardabweichung von 15 verteilt sind. Sie haben eine einfache Zufallsstichprobe von 100 Studienanfängern, und der mittlere IQ-Wert für diese Stichprobe beträgt 120. Finden Sie ein 90-Prozent-Konfidenzintervall für den mittleren IQ-Wert für die gesamte Bevölkerung der ankommenden Studienanfänger.

Arbeiten Sie die oben beschriebenen Schritte aus:

1. Überprüfen Sie die Bedingungen: Die Bedingungen sind erfüllt, seit Ihnen mitgeteilt wurde, dass die Populationsstandardabweichung 15 beträgt und es sich um eine Normalverteilung handelt.
2. Schätzung berechnen: Ihnen wurde gesagt, dass Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe 100 haben. Der mittlere IQ für diese Stichprobe beträgt 120, dies ist also Ihre Schätzung.
3. Kritischer Wert: Der kritische Wert für das Konfidenzniveau von 90 Prozent ist gegeben durch z^* = 1.645.
4. Fehlermarge: Verwenden die Fehlerquote Formel und erhalten einen Fehler von z^* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. Daraus schließen: Schließen Sie, indem Sie alles zusammenfügen. Ein 90-Prozent-Konfidenzintervall für den mittleren IQ-Wert der Bevölkerung beträgt 120 ± 2,467. Alternativ können Sie dieses Konfidenzintervall als 117,5325 bis 122,4675 angeben.

Konfidenzintervalle des obigen Typs sind nicht sehr realistisch. Es ist sehr selten, die Populationsstandardabweichung zu kennen, aber nicht den Populationsmittelwert. Es gibt Möglichkeiten, diese unrealistische Annahme zu beseitigen.

Während Sie eine Normalverteilung angenommen haben, muss diese Annahme nicht gelten. Schöne Proben, die keine starken zeigen Schiefe Wenn Sie Ausreißer haben und eine ausreichend große Stichprobe haben, können Sie die aufrufen zentraler Grenzwertsatz. Infolgedessen ist es gerechtfertigt, eine Tabelle mit Z-Scores zu verwenden, selbst für Populationen, die nicht normal verteilt sind.