Was ist die leere Menge in der Mengenlehre?

Wann kann nichts etwas sein? Es scheint eine dumme Frage zu sein und ziemlich paradox. Im mathematischen Bereich der Mengenlehre ist es Routine, dass nichts etwas anderes als nichts ist. Wie kann das sein?

Wenn wir eine Menge ohne Elemente bilden, haben wir nichts mehr. Wir haben ein Set mit nichts drin. Es gibt einen speziellen Namen für die Menge, der keine Elemente enthält. Dies wird als leere oder Nullmenge bezeichnet.

Die Definition der leeren Menge ist ziemlich subtil und erfordert ein wenig Nachdenken. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir an a denken einstellen als eine Sammlung von Elementen. Das Set selbst unterscheidet sich von den darin enthaltenen Elementen.

Zum Beispiel werden wir uns {5} ansehen, eine Menge, die das Element 5 enthält. Die Menge {5} ist keine Zahl. Es ist eine Menge mit der Zahl 5 als Element, während 5 eine Zahl ist.

In ähnlicher Weise ist die leere Menge nicht nichts. Stattdessen ist es die Menge ohne Elemente. Es ist hilfreich, sich Sets als Container vorzustellen, und die Elemente sind die Dinge, die wir in sie einfügen. Ein leerer Container ist immer noch ein Container und entspricht dem leeren Satz.

Das leere Set ist einzigartig, weshalb es durchaus angebracht ist, darüber zu sprechen das leerer Satz, anstatt ein leeres Set. Dies unterscheidet den leeren Satz von anderen Sätzen. Es gibt unendlich viele Mengen mit einem Element. Die Mengen {a}, {1}, {b} und {123} haben jeweils ein Element und sind daher einander äquivalent. Da sich die Elemente selbst voneinander unterscheiden, sind die Mengen nicht gleich.

Es ist nichts Besonderes an den obigen Beispielen, die jeweils ein Element haben. Mit einer Ausnahme gibt es für jede Zählzahl oder Unendlichkeit unendlich viele Sätze dieser Größe. Die Ausnahme ist für die Zahl Null. Es gibt nur eine Menge, die leere Menge, ohne Elemente.

Der mathematische Beweis dieser Tatsache ist nicht schwierig. Wir nehmen zunächst an, dass die leere Menge nicht eindeutig ist, dass zwei Mengen keine Elemente enthalten, und verwenden dann einige Eigenschaften aus der Mengenlehre, um zu zeigen, dass diese Annahme einen Widerspruch impliziert.

Die leere Menge wird mit dem Symbol ∅ bezeichnet, das von einem ähnlichen Symbol im dänischen Alphabet stammt. Einige Bücher beziehen sich auf die leere Menge mit dem alternativen Namen null set.

Da es nur einen leeren Satz gibt, lohnt es sich zu sehen, was passiert, wenn der Satz von ausgeführt wird Schnittmenge, Vereinigung und Komplement werden mit der leeren Menge und einer allgemeinen Menge verwendet, die wir bezeichnen werden durch X.. Es ist auch interessant, eine Teilmenge der leeren Menge zu betrachten und wann die leere Menge eine Teilmenge ist. Diese Fakten werden unten gesammelt:

• Das Überschneidung von jedem Satz mit dem leeren Satz ist der leere Satz. Dies liegt daran, dass die leere Menge keine Elemente enthält und die beiden Mengen daher keine gemeinsamen Elemente haben. In Symbolen schreiben wir X. ∩ ∅ = ∅.
• Das Union von jedem Satz mit dem leeren Satz ist der Satz, mit dem wir begonnen haben. Dies liegt daran, dass die leere Menge keine Elemente enthält und wir daher der anderen Menge keine Elemente hinzufügen, wenn wir die Vereinigung bilden. In Symbolen schreiben wir X. U ∅ = X..
• Das ergänzen der leeren Menge ist die universelle Menge für die Einstellung, in der wir arbeiten. Dies liegt daran, dass die Menge aller Elemente, die nicht in der leeren Menge enthalten sind, nur die Menge aller Elemente ist.
• Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Dies liegt daran, dass wir Teilmengen einer Menge bilden X. durch Auswahl (oder Nichtauswahl) von Elementen aus X.. Eine Option für eine Teilmenge besteht darin, überhaupt keine Elemente von zu verwenden X.. Dies gibt uns die leere Menge.