Probenahme mit oder ohne Ersatz

Statistische Stichproben kann auf verschiedene Arten durchgeführt werden. Zusätzlich zu der Art der Stichprobenmethode, die wir verwenden, gibt es eine weitere Frage, die sich darauf bezieht, was speziell mit einer Person passiert, die wir zufällig ausgewählt haben. Diese Frage, die sich bei der Stichprobe stellt, lautet: "Was machen wir mit der Person, nachdem wir eine Person ausgewählt und die Messung des Attributs aufgezeichnet haben, das wir untersuchen?"

Es gibt zwei Möglichkeiten:

• Wir können die Person wieder in den Pool zurücksetzen, aus dem wir Proben entnehmen.
• Wir können uns dafür entscheiden, das Individuum nicht zu ersetzen.

Wir können sehr leicht erkennen, dass diese zu zwei unterschiedlichen Situationen führen. Bei der ersten Option lässt der Ersatz die Möglichkeit offen, dass die Person ein zweites Mal zufällig ausgewählt wird. Bei der zweiten Option ist es unmöglich, dieselbe Person zweimal auszuwählen, wenn wir ersatzlos arbeiten. Wir werden sehen, dass dieser Unterschied die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für diese Stichproben beeinflusst.

Betrachten Sie die folgende Beispielfrage, um zu sehen, wie sich das Ersetzen auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auswirkt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Asse aus a zu ziehen? Standardkartenspiel?

Diese Frage ist nicht eindeutig. Was passiert, wenn wir die erste Karte ziehen? Legen wir es wieder ins Deck oder lassen wir es weg?

Wir beginnen mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit Ersetzung. Es gibt insgesamt vier Asse und 52 Karten, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, 4/52. Wenn wir diese Karte ersetzen und erneut ziehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit erneut 4/52. Diese Ereignisse sind unabhängig, daher multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten (4/52) x (4/52) = 1/169 oder ungefähr 0,592%.

Jetzt werden wir dies mit der gleichen Situation vergleichen, mit der Ausnahme, dass wir die Karten nicht ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Draw ein Ass zu ziehen, beträgt immer noch 4/52. Für die zweite Karte nehmen wir an, dass bereits ein Ass gezogen wurde. Wir müssen jetzt eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Mit anderen Worten, wir müssen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein zweites Ass zu ziehen, da die erste Karte auch ein Ass ist.

Von insgesamt 51 Karten sind jetzt noch drei Asse übrig. Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines zweiten Asses nach dem Ziehen eines Asses beträgt also 3/51. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Asse ohne Ersatz zu ziehen, beträgt (4/52) x (3/51) = 1/221 oder etwa 0,425%.

Wir sehen direkt aus dem obigen Problem, dass das, was wir mit dem Ersetzen tun, Einfluss auf die Werte der Wahrscheinlichkeiten hat. Diese Werte können erheblich geändert werden.

Es gibt Situationen, in denen die Probenahme mit oder ohne Ersatz die Wahrscheinlichkeiten nicht wesentlich ändert. Angenommen, wir wählen zufällig zwei Personen aus einer Stadt mit 50.000 Einwohnern aus, von denen 30.000 weiblich sind.

Wenn wir mit Ersatz probieren, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Auswahl eine Frau auszuwählen, gegeben durch 30000/50000 = 60%. Die Wahrscheinlichkeit einer Frau bei der zweiten Auswahl beträgt immer noch 60%. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen weiblich sind, beträgt 0,6 x 0,6 = 0,36.

Wenn wir ersatzlos probieren, bleibt die erste Wahrscheinlichkeit unberührt. Die zweite Wahrscheinlichkeit ist jetzt 29999/49999 = 0,5999919998..., was extrem nahe bei 60% liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide weiblich sind, beträgt 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Die Wahrscheinlichkeiten sind technisch unterschiedlich, jedoch nahe genug, um kaum zu unterscheiden. Aus diesem Grund behandeln wir die Auswahl jedes Individuums oft, obwohl wir ersatzlos sind, so, als ob sie von den anderen Individuen in der Probe unabhängig wären.

Es gibt andere Fälle, in denen wir überlegen müssen, ob wir mit oder ohne Ersatz probieren sollen. Ein Beispiel dafür ist Bootstrapping. Diese statistische Technik fällt unter die Überschrift einer Resampling-Technik.

Beim Bootstrapping beginnen wir mit einer statistischen Stichprobe einer Population. Wir verwenden dann Computersoftware, um Bootstrap-Beispiele zu berechnen. Mit anderen Worten, der Computer wird mit einem Ersatz aus dem ursprünglichen Beispiel erneut abgetastet.