Eine Null-Fakultät ist ein mathematischer Ausdruck für die Anzahl der Möglichkeiten, einen Datensatz ohne Werte anzuordnen, der gleich eins ist. Im Allgemeinen ist die Fakultät einer Zahl ist eine Kurzform zum Schreiben eines Multiplikationsausdrucks, bei dem die Zahl mit jeder Zahl multipliziert wird, die kleiner als sie, aber größer als Null ist. 4! = 24 ist zum Beispiel dasselbe wie 4 x 3 x 2 x 1 = 24 zu schreiben, aber man verwendet ein Ausrufezeichen rechts von der Fakultätszahl (vier), um dieselbe Gleichung auszudrücken.
Aus diesen Beispielen geht ziemlich klar hervor, wie die Fakultät einer ganzen Zahl größer als oder berechnet werden kann gleich eins, aber warum ist der Wert von Null faktoriell Eins trotz der mathematischen Regel, dass alles, was mit Null multipliziert wird, gleich Null ist?
Die Definition der Fakultät besagt, dass 0! = 1. Dies verwirrt normalerweise die Menschen, wenn sie diese Gleichung zum ersten Mal sehen, aber wir werden im Folgenden sehen Beispiele, warum dies sinnvoll ist, wenn Sie sich die Definition, Permutationen und Formeln für die Null ansehen Fakultät.
Die Definition eines Nullfaktors
Der erste Grund, warum Null Fakultät gleich Eins ist, ist, dass dies laut Definition so sein sollte, was eine mathematisch korrekte Erklärung ist (wenn auch eine etwas unbefriedigende). Dennoch muss man bedenken, dass die Definition einer Fakultät das Produkt aller ganzen Zahlen ist, deren Wert gleich oder kleiner ist ursprüngliche Zahl - mit anderen Worten, eine Fakultät ist die Anzahl der Kombinationen, die mit Zahlen kleiner oder gleich dieser möglich sind Nummer.
Da Null keine Zahlen weniger als sie hat, aber immer noch an und für sich eine Zahl ist, gibt es nur eine mögliche Kombination, wie dieser Datensatz angeordnet werden kann: Es kann nicht. Dies zählt immer noch als eine Möglichkeit, es anzuordnen. Per Definition ist eine Null-Fakultät gleich Eins, genau wie 1! ist gleich eins, da es nur eine einzige mögliche Anordnung dieses Datensatzes gibt.
Um besser zu verstehen, wie dies mathematisch sinnvoll ist, ist es wichtig zu beachten, dass Fakultäten wie diese verwendet werden, um mögliche Ordnungen von Informationen in a zu bestimmen Sequenz, auch als Permutationen bekannt, die hilfreich sein kann, um zu verstehen, dass es zwar keine Werte in einer leeren oder Nullmenge gibt, es aber immer noch eine Möglichkeit gibt, diese Menge zu setzen vereinbart worden.
Permutationen und Fakultäten
EIN Permutation ist eine bestimmte, eindeutige Reihenfolge von Elementen in einer Menge. Zum Beispiel gibt es sechs Permutationen der Menge {1, 2, 3}, die drei Elemente enthält, da wir diese Elemente auf die folgenden sechs Arten schreiben können:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Wir könnten diese Tatsache auch durch die Gleichung 3 erklären! = 6, was eine faktorielle Darstellung des gesamten Satzes von Permutationen ist. In ähnlicher Weise gibt es 4! = 24 Permutationen einer Menge mit vier Elementen und 5! = 120 Permutationen einer Menge mit fünf Elementen. Eine alternative Art, über die Fakultät nachzudenken, ist also zu lassen n sei eine natürliche Zahl und sage das n! ist die Anzahl der Permutationen für eine Menge mit n Elemente.
Schauen wir uns mit dieser Art des Denkens über die Fakultät noch ein paar Beispiele an. Ein Set mit zwei Elementen hat zwei Permutationen: {a, b} kann als a, b oder als b, a angeordnet werden. Dies entspricht 2! = 2. Eine Menge mit einem Element hat eine einzelne Permutation, da das Element 1 in der Menge {1} nur auf eine Weise bestellt werden kann.
Dies bringt uns auf Null Fakultät. Die Menge mit Nullelementen heißt leeres Set. Um den Wert der Fakultät Null zu ermitteln, fragen wir: "Auf wie viele Arten können wir eine Menge ohne Elemente bestellen?" Hier müssen wir unser Denken ein wenig ausdehnen. Obwohl es nichts zu bestellen gibt, gibt es einen Weg, dies zu tun. Wir haben also 0! = 1.
Formeln und andere Validierungen
Ein weiterer Grund für die Definition von 0! = 1 hat mit den Formeln zu tun, die wir für Permutationen und Kombinationen verwenden. Dies erklärt nicht, warum Null Fakultät Eins ist, aber es zeigt, warum das Setzen von 0! = 1 ist eine gute Idee.
Eine Kombination ist eine Gruppierung von Elementen einer Menge ohne Rücksicht auf die Reihenfolge. Betrachten Sie zum Beispiel die Menge {1, 2, 3}, in der es eine Kombination gibt, die aus allen drei Elementen besteht. Unabhängig davon, wie wir diese Elemente anordnen, erhalten wir dieselbe Kombination.
Wir gebrauchen die Formel für Kombinationen mit der Kombination von drei Elementen drei auf einmal genommen und sehen, dass 1 = C. (3, 3) = 3!/(3! 0!) Und wenn wir 0 behandeln! als unbekannte Größe und algebraisch lösen, sehen wir, dass 3! 0! = 3! und so 0! = 1.
Es gibt andere Gründe, warum die Definition von 0! = 1 ist richtig, aber die oben genannten Gründe sind am einfachsten. Die Grundidee in der Mathematik ist, dass neue Ideen und Definitionen erhalten bleiben, wenn sie konstruiert werden im Einklang mit anderer Mathematik, und genau das sehen wir in der Definition von Null Fakultät ist gleich eins.