Ein beliebter Weg, um die Wahrscheinlichkeit zu untersuchen, ist das Würfeln. Ein Standardstempel hat sechs Seiten, die mit kleinen Punkten mit den Nummern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 bedruckt sind. Wenn der Würfel fair ist (und wir werden annehmen dass alle von ihnen sind), dann ist jedes dieser Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Da es sechs mögliche Ergebnisse gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Seite des Würfels zu erhalten, 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu würfeln, beträgt 1/6 und so weiter. Aber was passiert, wenn wir einen weiteren Würfel hinzufügen? Was sind die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfel?
Würfelwurfwahrscheinlichkeit
Um die Wahrscheinlichkeit eines Würfelwurfs richtig zu bestimmen, müssen wir zwei Dinge wissen:
- Die grosse von Probenraum oder die Menge der insgesamt möglichen Ergebnisse
- Wie oft tritt ein Ereignis auf?
Im Wahrscheinlichkeitist ein Ereignis eine bestimmte Teilmenge des Probenraums. Wenn beispielsweise wie im obigen Beispiel nur ein Würfel gewürfelt wird, entspricht der Probenraum allen Werten auf dem Würfel oder dem Satz (1, 2, 3, 4, 5, 6). Da der Würfel fair ist, kommt jede Zahl im Satz nur einmal vor. Mit anderen Worten ist die Häufigkeit jeder Zahl 1. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, eine der Zahlen auf dem Würfel zu würfeln, teilen wir die Ereignisfrequenz (1) durch die Größe des Probenraums (6), was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 führt.
Das Würfeln mit zwei fairen Würfeln verdoppelt die Schwierigkeit, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, mehr als. Dies liegt daran, dass das Würfeln eines Würfels unabhängig vom Würfeln eines zweiten Würfels ist. Eine Rolle hat keine Auswirkung auf die andere. Im Umgang mit unabhängigen Ereignissen verwenden wir die Multiplikationsregel. Die Verwendung eines Baumdiagramms zeigt, dass es 6 x 6 = 36 mögliche Ergebnisse gibt, wenn zwei Würfel gewürfelt werden.
Angenommen, der erste Würfel, den wir würfeln, wird als 1 angezeigt. Der andere Würfelwurf kann 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein. Angenommen, der erste Würfel ist eine 2. Der andere Würfelwurf könnte wieder 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein. Wir haben bereits 12 mögliche Ergebnisse gefunden und müssen noch alle Möglichkeiten des ersten Würfels ausschöpfen.
Wahrscheinlichkeitstabelle für zwei Würfel
Die möglichen Ergebnisse des Würfelns mit zwei Würfeln sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Beachten Sie, dass die Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse gleich dem Probenraum des ersten Würfels ist (6). multipliziert durch den Probenraum des zweiten Chips (6), der 36 beträgt.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Drei oder mehr Würfel
Das gleiche Prinzip gilt, wenn wir daran arbeiten Probleme mit drei Würfeln. Wir multiplizieren und sehen, dass es 6 x 6 x 6 = 216 mögliche Ergebnisse gibt. Da das Schreiben der wiederholten Multiplikation umständlich wird, können wir Exponenten verwenden, um die Arbeit zu vereinfachen. Für zwei Würfel gibt es 62 mögliche Resultate. Für drei Würfel gibt es 63 mögliche Resultate. Im Allgemeinen, wenn wir rollen n Würfel, dann gibt es insgesamt 6n mögliche Resultate.
Beispielprobleme
Mit diesem Wissen können wir alle möglichen Wahrscheinlichkeitsprobleme lösen:
1. Zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Würfel sieben beträgt?
Der einfachste Weg, um dieses Problem zu lösen, besteht darin, die obige Tabelle zu konsultieren. Sie werden feststellen, dass es in jeder Reihe einen Würfelwurf gibt, bei dem die Summe der beiden Würfel gleich sieben ist. Da es sechs Zeilen gibt, gibt es sechs mögliche Ergebnisse, bei denen die Summe der beiden Würfel gleich sieben ist. Die Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse bleibt 36. Wiederum finden wir die Wahrscheinlichkeit, indem wir die Ereignisfrequenz (6) durch die Größe des Probenraums (36) dividieren, was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 führt.
2. Zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von den zwei Würfeln sind drei?
Im vorherigen Problem haben Sie möglicherweise bemerkt, dass die Zellen, in denen die Summe der beiden Würfel gleich sieben ist, eine Diagonale bilden. Das gleiche gilt hier, außer dass es in diesem Fall nur zwei Zellen gibt, in denen die Summe der Würfel drei beträgt. Das liegt daran, dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, dieses Ergebnis zu erzielen. Sie müssen eine 1 und eine 2 würfeln oder Sie müssen eine 2 und eine 1 würfeln. Die Kombinationen zum Würfeln einer Summe von sieben sind viel größer (1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 usw.). Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass die Summe der beiden Würfel drei ist, können wir die Ereignisfrequenz (2) durch die Größe des Probenraums (36) dividieren, was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/18 führt.
3. Zwei sechsseitige Würfel werden gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen auf den Würfeln sind anders?
Auch hier können wir dieses Problem leicht lösen, indem wir die obige Tabelle konsultieren. Sie werden feststellen, dass die Zellen, in denen die Zahlen auf den Würfeln gleich sind, eine Diagonale bilden. Es gibt nur sechs von ihnen, und sobald wir sie durchgestrichen haben, haben wir die verbleibenden Zellen, in denen die Zahlen auf den Würfeln unterschiedlich sind. Wir können die Anzahl der Kombinationen (30) nehmen und durch die Größe des Probenraums (36) dividieren, was eine Wahrscheinlichkeit von 5/6 ergibt.