Additionsregeln sind in der Wahrscheinlichkeit wichtig. Diese Regeln bieten uns eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen. "EIN oder B,"vorausgesetzt, wir kennen die Wahrscheinlichkeit von EIN und die Wahrscheinlichkeit von B.. Manchmal wird das "oder" durch U ersetzt, das Symbol aus der Mengenlehre, das das bezeichnet Union von zwei Sätzen. Die genaue zu verwendende Additionsregel hängt davon ab, ob ein Ereignis vorliegt EIN und Ereignis B. schließen sich gegenseitig aus oder nicht.
Zusatzregel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
Wenn Ereignisse EIN und B. sind sich gegenseitig ausschließen, dann die Wahrscheinlichkeit von EIN oder B. ist die Summe der Wahrscheinlichkeit von EIN und die Wahrscheinlichkeit von B.. Wir schreiben dies kompakt wie folgt:
P.(EIN oder B.) = P.(EIN) + P.(B.)
Verallgemeinerte Additionsregel für zwei beliebige Ereignisse
Die obige Formel kann für Situationen verallgemeinert werden, in denen sich Ereignisse nicht unbedingt gegenseitig ausschließen müssen. Für zwei beliebige Ereignisse
EIN und B., die Wahrscheinlichkeit von EIN oder B. ist die Summe der Wahrscheinlichkeit von EIN und die Wahrscheinlichkeit von B. abzüglich der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von beiden EIN und B.:P.(EIN oder B.) = P.(EIN) + P.(B.) - P.(EIN und B.)
Manchmal wird das Wort "und" durch ∩ ersetzt, was das Symbol aus der Mengenlehre ist, das das bezeichnet Schnittpunkt zweier Sätze.
Die Additionsregel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse ist wirklich ein Sonderfall der verallgemeinerten Regel. Dies liegt daran, wenn EIN und B. schließen sich gegenseitig aus, dann die Wahrscheinlichkeit von beiden EIN und B. ist Null.
Beispiel 1
Wir werden Beispiele für die Verwendung dieser Additionsregeln sehen. Angenommen, wir ziehen eine Karte aus einem gut gemischten Standardkartenspiel. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass es sich bei der gezogenen Karte um eine Zwei- oder eine Bildkarte handelt. Das Ereignis "Eine Bildkarte wird gezogen" schließt sich gegenseitig mit dem Ereignis "Eine Zwei wird gezogen" aus. Daher müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse addieren.
Es gibt insgesamt 12 Bildkarten, sodass die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte zu ziehen, 12/52 beträgt. Es gibt vier Zweien im Deck, und daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu ziehen, 4/52. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei- oder eine Bildkarte zu ziehen, 12/52 + 4/52 = 16/52 beträgt.
Beispiel 2
Nehmen wir nun an, wir ziehen eine Karte aus einem gut gemischten Standardkartenstapel. Nun wollen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, eine rote Karte oder ein Ass zu ziehen. In diesem Fall schließen sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig aus. Das Ass der Herzen und das Ass der Diamanten sind Elemente des Satzes roter Karten und des Satzes Asse.
Wir betrachten drei Wahrscheinlichkeiten und kombinieren sie dann unter Verwendung der verallgemeinerten Additionsregel:
- Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen, beträgt 26/52
- Die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, beträgt 4/52
- Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte und ein Ass zu ziehen, beträgt 2/52
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte oder ein Ass zu ziehen, 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 beträgt.