Was ist das Power Set?

Eine Frage in Mengenlehre ist, ob eine Menge eine Teilmenge einer anderen Menge ist. Eine Teilmenge von EIN ist eine Menge, die unter Verwendung einiger Elemente aus der Menge gebildet wird EIN. Damit B. eine Teilmenge von sein EIN, jedes Element von B. muss auch ein Element von sein EIN.

Jeder Satz hat mehrere Teilmengen. Manchmal ist es wünschenswert, alle möglichen Teilmengen zu kennen. Eine als Power Set bekannte Konstruktion hilft dabei. Das Power-Set des Sets EIN ist eine Menge mit Elementen, die auch Mengen sind. Diese Potenzmenge wird gebildet, indem alle Teilmengen einer gegebenen Menge eingeschlossen werden EIN.

Wir werden zwei Beispiele für Stromversorgungssätze betrachten. Zum ersten, wenn wir mit dem Set beginnen EIN = {1, 2, 3}, wie hoch ist dann die eingestellte Leistung? Wir fahren fort, indem wir alle Teilmengen von auflisten EIN.

• Das leeres Set ist eine Teilmenge von EIN. In der Tat die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge. Dies ist die einzige Teilmenge ohne Elemente von EIN.
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• Die Mengen {1}, {2}, {3} sind die einzigen Teilmengen von EIN mit einem Element.
• Die Mengen {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} sind die einzigen Teilmengen von EIN mit zwei Elementen.
• Jede Menge ist eine Teilmenge von sich. Somit EIN = {1, 2, 3} ist eine Teilmenge von EIN. Dies ist die einzige Teilmenge mit drei Elementen.

Für das zweite Beispiel betrachten wir die Potenzmenge von B. ={1, 2, 3, 4}. Vieles von dem, was wir oben gesagt haben, ist ähnlich, wenn nicht jetzt identisch:

• Der leere Satz und B. sind beide Teilmengen.
• Da gibt es vier Elemente von B.gibt es vier Teilmengen mit einem Element: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Da jede Teilmenge von drei Elementen durch Eliminieren eines Elements aus gebildet werden kann B. und es gibt vier Elemente, es gibt vier solche Teilmengen: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Es bleibt, die Teilmengen mit zwei Elementen zu bestimmen. Wir bilden eine Teilmenge von zwei Elementen, die aus einer Menge von 4 ausgewählt werden. Dies ist eine Kombination und es gibt C. (4, 2) = 6 dieser Kombinationen. Die Teilmengen sind: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie die Leistung eines Satzes EIN wird bezeichnet. Eine Möglichkeit, dies anzuzeigen, ist die Verwendung des Symbols P.( EIN), wo manchmal dieser Brief P. wird mit einem stilisierten Skript geschrieben. Eine weitere Notation für den Potenzsatz von EIN ist 2^EIN. Diese Notation wird verwendet, um den Leistungssatz mit der Anzahl der Elemente im Leistungssatz zu verbinden.

Wir werden diese Notation weiter untersuchen. Wenn EIN ist eine endliche Menge mit n Elemente, dann seine Kraft gesetzt P (A. ) wird 2 habenⁿ Elemente. Wenn wir mit einer unendlichen Menge arbeiten, ist es nicht hilfreich, an 2 zu denkenⁿ Elemente. Ein Satz von Cantor sagt uns jedoch, dass die Kardinalität einer Menge und ihrer Potenzmenge nicht gleich sein können.

In der Mathematik war es eine offene Frage, ob die Kardinalität der Potenzmenge einer zählbar unendlichen Menge mit der Kardinalität der Realen übereinstimmt. Die Lösung dieser Frage ist recht technisch, sagt jedoch, dass wir uns entscheiden können, ob wir Kardinalitäten identifizieren oder nicht. Beides führt zu einer konsistenten mathematischen Theorie.

Das Thema Wahrscheinlichkeit basiert auf der Mengenlehre. Anstatt uns auf universelle Mengen und Teilmengen zu beziehen, sprechen wir stattdessen darüber Probenräume und Veranstaltungen. Wenn wir mit einem Probenraum arbeiten, möchten wir manchmal die Ereignisse dieses Probenraums bestimmen. Der Potenzsatz des Probenraums, den wir haben, gibt uns alle möglichen Ereignisse.