Wenn Sie jemanden bitten würden, seine mathematische Lieblingskonstante zu benennen, würden Sie wahrscheinlich ein fragendes Aussehen bekommen. Nach einer Weile kann sich jemand freiwillig melden beste Konstante ist pi. Dies ist jedoch nicht die einzige wichtige mathematische Konstante. Eine knappe Sekunde, wenn nicht der Anwärter auf die Krone der allgegenwärtigsten Konstante ist e. Diese Zahl zeigt sich in Kalkül, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeit und Statistiken. Wir werden einige der Merkmale dieser bemerkenswerten Zahl untersuchen und herausfinden, welche Zusammenhänge sie mit Statistik und Wahrscheinlichkeit hat.
Wert von e
Wie pi, e ist irrational reelle Zahl. Dies bedeutet, dass es nicht als Bruch geschrieben werden kann und dass seine Dezimalerweiterung für immer andauert, ohne dass sich ein sich wiederholender Zahlenblock wiederholt. Die Nummer e ist auch transzendent, was bedeutet, dass es nicht die Wurzel eines Polynoms ungleich Null mit rationalen Koeffizienten ist. Die ersten fünfzig Dezimalstellen von sind gegeben durch
e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.Definition von e
Die Nummer e wurde von Leuten entdeckt, die neugierig auf Zinseszins waren. Bei dieser Form von Zinsen verdient der Kapitalgeber Zinsen, und dann werden die generierten Zinsen selbst verzinst. Es wurde beobachtet, dass je höher die Häufigkeit von Zinsperioden pro Jahr ist, desto höher ist der generierte Zinsbetrag. Zum Beispiel könnten wir uns ansehen, wie sich das Interesse erhöht:
- Jährlich oder einmal im Jahr
- Halbjährlich oder zweimal im Jahr
- Monatlich oder 12 mal im Jahr
- Täglich oder 365 Mal im Jahr
Der Gesamtzinsbetrag erhöht sich für jeden dieser Fälle.
Es stellte sich die Frage, wie viel Geld möglicherweise mit Zinsen verdient werden könnte. Um noch mehr Geld zu verdienen, könnten wir theoretisch die Anzahl der Zinsperioden auf eine so hohe Anzahl erhöhen, wie wir wollten. Das Endergebnis dieses Anstiegs ist, dass wir davon ausgehen würden, dass die Zinsen kontinuierlich erhöht werden.
Während das erzeugte Interesse zunimmt, geschieht dies sehr langsam. Der Gesamtbetrag auf dem Konto stabilisiert sich tatsächlich, und der Wert, auf den sich dieser stabilisiert, ist e. Um dies mit einer mathematischen Formel auszudrücken, sagen wir, dass die Grenze als n Erhöhungen von (1 + 1 /n)n = e.
Verwendungen von e
Die Nummer e zeigt sich in der gesamten Mathematik. Hier sind einige der Orte, an denen es auftritt:
- Es ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Seit Napier Logarithmen erfunden hat, e wird manchmal als Napier-Konstante bezeichnet.
- Im Kalkül die Exponentialfunktion ex hat die einzigartige Eigenschaft, ein eigenes Derivat zu sein.
- Ausdrücke mit ex und e-x kombinieren, um die hyperbolischen Sinus- und hyperbolischen Cosinusfunktionen zu bilden.
- Dank der Arbeit von Euler wissen wir, dass die Grundkonstanten der Mathematik durch die Formel miteinander verbunden sind eiΠ + 1 = 0, wobei ich ist die imaginäre Zahl, die die Quadratwurzel der negativen ist.
- Die Nummer e zeigt sich in verschiedenen Formeln in der gesamten Mathematik, insbesondere im Bereich der Zahlentheorie.
Der Wert e in der Statistik
Die Wichtigkeit der Nummer e ist nicht nur auf wenige Bereiche der Mathematik beschränkt. Es gibt auch mehrere Verwendungen der Nummer e in Statistik und Wahrscheinlichkeit. Einige davon sind wie folgt:
- Die Nummer e tritt in der Formel für die Gammafunktion.
- Die Formeln für die Standardnormalverteilung beinhaltet e zu einer negativen Kraft. Diese Formel enthält auch pi.
- Bei vielen anderen Distributionen wird die Nummer verwendet e. Beispielsweise enthalten die Formeln für die t-Verteilung, die Gamma-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung alle die Zahl e.