Verwendung signifikanter Zahlen und wissenschaftlicher Notation

Wenn Sie eine Messung durchführen, a Wissenschaftler kann nur ein bestimmtes Maß an Präzision erreichen, das entweder durch die verwendeten Werkzeuge oder die physikalische Natur der Situation begrenzt ist. Das offensichtlichste Beispiel ist die Entfernungsmessung.

Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie die Entfernung messen, um die sich ein Objekt mit einem Maßband bewegt (in metrischen Einheiten). Das Maßband wird wahrscheinlich in kleinste Millimetereinheiten zerlegt. Daher können Sie auf keinen Fall mit einer Genauigkeit von mehr als einem Millimeter messen. Wenn sich das Objekt um 57,215493 Millimeter bewegt, können wir daher nur mit Sicherheit feststellen, dass es sich um 57 Millimeter (oder 5,7 Zentimeter oder 0,057 Meter, je nach Präferenz in dieser Situation) bewegt hat.

Im Allgemeinen ist diese Rundungsstufe in Ordnung. Erhalten der genauen Bewegung eines normal großen Objekts bis zu a Millimeter wäre eigentlich eine ziemlich beeindruckende Leistung. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die Bewegung eines Autos auf den Millimeter genau zu messen, und Sie werden sehen, dass dies im Allgemeinen nicht erforderlich ist. In den Fällen, in denen eine solche Präzision erforderlich ist, verwenden Sie Werkzeuge, die viel ausgefeilter sind als ein Maßband.

Die Anzahl der aussagekräftigen Zahlen in einer Messung wird als Anzahl der Zahlen bezeichnet bedeutende Zahlen der Nummer. Im vorherigen Beispiel würde die 57-Millimeter-Antwort 2 signifikante Zahlen in unserer Messung liefern.

Betrachten Sie die Nummer 5.200.

Sofern nicht anders angegeben, ist es allgemein üblich anzunehmen, dass nur die beiden Ziffern ungleich Null von Bedeutung sind. Mit anderen Worten wird angenommen, dass diese Zahl war gerundet auf die nächsten hundert.

Wenn die Zahl jedoch als 5.200,0 geschrieben wird, hätte sie fünf signifikante Zahlen. Der Dezimalpunkt und die folgende Null werden nur hinzugefügt, wenn die Messung ist genau auf dieses Niveau.

In ähnlicher Weise hätte die Zahl 2,30 drei signifikante Zahlen, da die Null am Ende ein Hinweis darauf ist, dass der Wissenschaftler, der die Messung durchgeführt hat, dies mit dieser Genauigkeit getan hat.

Einige Lehrbücher haben auch die Konvention eingeführt, dass ein Dezimalpunkt am Ende einer ganzen Zahl auch signifikante Zahlen anzeigt. Also 800. hätte drei signifikante Zahlen, während 800 nur eine signifikante Zahl hat. Auch dies ist je nach Lehrbuch etwas variabel.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für eine unterschiedliche Anzahl signifikanter Zahlen, um das Konzept zu festigen:

Eine bedeutende Zahl
4
900
0.00002
Zwei bedeutende Figuren
3.7
0.0059
68,000
5.0
Drei bedeutende Figuren
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (in einigen Lehrbüchern)

Wissenschaftliche Zahlen bieten einige andere Regeln für die Mathematik als die, die Sie in Ihrem Mathematikunterricht kennengelernt haben. Der Schlüssel zur Verwendung signifikanter Zahlen besteht darin, sicherzustellen, dass Sie während der gesamten Berechnung die gleiche Genauigkeit beibehalten. In der Mathematik behalten Sie alle Zahlen aus Ihrem Ergebnis bei, während Sie in der wissenschaftlichen Arbeit häufig anhand der maßgeblichen Zahlen runden.

Beim Addieren oder Subtrahieren wissenschaftlicher Daten ist nur die letzte Ziffer (die am weitesten rechts stehende Ziffer) von Bedeutung. Nehmen wir zum Beispiel an, wir fügen drei verschiedene Entfernungen hinzu:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Der erste Term im Additionsproblem hat vier signifikante Zahlen, der zweite hat acht und der dritte hat nur zwei. Die Genauigkeit wird in diesem Fall durch den kürzesten Dezimalpunkt bestimmt. Sie werden also Ihre Berechnung durchführen, aber anstelle von 15.2699834 wird das Ergebnis 15.3 sein, weil Sie runden auf die Zehntelstelle (die erste Stelle nach dem Dezimalpunkt), denn während zwei von Ihre Messungen genauer gesagt, der dritte kann Ihnen nicht mehr als den zehnten Platz sagen, daher kann das Ergebnis dieses Additionsproblems auch nur so genau sein.

Beachten Sie, dass Ihre endgültige Antwort in diesem Fall drei signifikante Zahlen enthält keiner Ihrer Startnummern haben. Dies kann für Anfänger sehr verwirrend sein, und es ist wichtig, auf diese Eigenschaft der Addition und Subtraktion zu achten.

Bei der Multiplikation oder Division wissenschaftlicher Daten spielt dagegen die Anzahl der signifikanten Zahlen eine Rolle. Das Multiplizieren von signifikanten Zahlen führt immer zu einer Lösung, die dieselben signifikanten Zahlen wie die kleinsten signifikanten Zahlen hat, mit denen Sie begonnen haben. Also weiter zum Beispiel:

5,638 x 3,1

Der erste Faktor hat vier signifikante Zahlen und der zweite Faktor hat zwei signifikante Zahlen. Ihre Lösung wird daher zwei signifikante Zahlen ergeben. In diesem Fall ist es 17 statt 17.4778. Sie führen die Berechnung durch dann Runden Sie Ihre Lösung auf die richtige Anzahl signifikanter Zahlen. Die zusätzliche Präzision bei der Multiplikation schadet nicht. Sie möchten bei Ihrer endgültigen Lösung einfach keine falsche Präzision angeben.

Die Physik befasst sich mit Raumbereichen von der Größe von weniger als einem Proton bis zur Größe des Universums. Als solches haben Sie es am Ende mit einigen sehr großen und sehr kleinen Zahlen zu tun. Im Allgemeinen sind nur die ersten paar dieser Zahlen von Bedeutung. Niemand wird (oder kann) die Breite des Universums auf den nächsten Millimeter genau messen.

Hinweis

Um diese Zahlen leicht zu manipulieren, verwenden Wissenschaftler wissenschaftliche Schreibweise. Die signifikanten Zahlen werden aufgelistet und dann mit zehn zur erforderlichen Potenz multipliziert. Die Lichtgeschwindigkeit wird wie folgt geschrieben: [blackquote shadow = no] 2.997925 x 108 m / s

Es gibt 7 signifikante Zahlen und dies ist viel besser als das Schreiben von 299.792.500 m / s.

Hinweis

Diese Notation ist sehr praktisch für die Multiplikation. Sie befolgen die zuvor beschriebenen Regeln zum Multiplizieren der signifikanten Zahlen, wobei die kleinsten beibehalten werden Anzahl der signifikanten Zahlen, und dann multiplizieren Sie die Größen, was der additiven Regel von folgt Exponenten. Das folgende Beispiel soll Ihnen bei der Visualisierung helfen:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Das Produkt hat nur zwei signifikante Zahlen und die Größenordnung ist 107, da 103 x 104 = 107

Das Hinzufügen einer wissenschaftlichen Notation kann je nach Situation sehr einfach oder sehr schwierig sein. Wenn die Terme in der gleichen Größenordnung liegen (d. H. 4.3005 x 105 und 13.5 x 105), befolgen Sie die beschriebenen Additionsregeln Behalten Sie zuvor den höchsten Platzwert als Rundungsort bei und behalten Sie die gleiche Größe wie im Folgenden bei Beispiel:

4.3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Wenn die Größenordnung jedoch unterschiedlich ist, müssen Sie ein wenig arbeiten, um die gleichen Größen wie in zu erhalten das folgende Beispiel, in dem ein Term die Größe 105 und der andere Term die Größe 105 hat 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
oder
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Beide Lösungen sind gleich und ergeben 9.700.000 als Antwort.

In ähnlicher Weise werden häufig auch sehr kleine Zahlen in wissenschaftlicher Notation geschrieben, allerdings mit einem negativen Exponenten auf der Größe anstelle des positiven Exponenten. Die Masse eines Elektrons ist:

9,10939 x 10-31 kg

Dies wäre eine Null, gefolgt von einem Dezimalpunkt, gefolgt von 30 Nullen und der Reihe von 6 signifikanten Zahlen. Niemand will das aufschreiben, deshalb ist die wissenschaftliche Notation unser Freund. Alle oben beschriebenen Regeln sind gleich, unabhängig davon, ob der Exponent positiv oder negativ ist.

Signifikante Zahlen sind ein grundlegendes Mittel, mit dem Wissenschaftler ein Maß für die Genauigkeit der von ihnen verwendeten Zahlen liefern. Der Rundungsprozess führt jedoch immer noch ein Maß für den Fehler in die Zahlen ein, und bei Berechnungen auf sehr hoher Ebene werden andere statistische Methoden verwendet. Für praktisch die gesamte Physik, die in den Klassenräumen der High School und des Colleges durchgeführt wird, Die korrekte Verwendung signifikanter Zahlen reicht jedoch aus, um das erforderliche Niveau von aufrechtzuerhalten Präzision.

Bedeutende Zahlen können ein erheblicher Stolperstein sein, wenn sie den Schülern zum ersten Mal vorgestellt werden, da sie einige der mathematischen Grundregeln ändern, die ihnen seit Jahren beigebracht werden. Bei signifikanten Zahlen beispielsweise 4 x 12 = 50.

In ähnlicher Weise kann die Einführung der wissenschaftlichen Notation für Schüler, die mit Exponenten oder Exponentialregeln möglicherweise nicht ganz vertraut sind, auch Probleme verursachen. Denken Sie daran, dass dies Werkzeuge sind, die jeder, der Naturwissenschaften studiert, irgendwann lernen musste, und dass die Regeln tatsächlich sehr grundlegend sind. Das Problem besteht darin, sich fast vollständig daran zu erinnern, welche Regel zu welchem ​​Zeitpunkt angewendet wird. Wann füge ich Exponenten hinzu und wann subtrahiere ich sie? Wann verschiebe ich den Dezimalpunkt nach links und wann nach rechts? Wenn Sie diese Aufgaben weiter üben, werden Sie sie besser beherrschen, bis sie zur zweiten Natur werden.

Schließlich kann es schwierig sein, die richtigen Einheiten zu warten. Denken Sie daran, dass Sie Zentimeter und nicht direkt hinzufügen können Meterzum Beispiel, muss sie aber zuerst in den gleichen Maßstab konvertieren. Dies ist ein häufiger Fehler für Anfänger, aber wie der Rest kann er sehr leicht überwunden werden, indem Sie langsamer werden, vorsichtig sind und darüber nachdenken, was Sie tun.