Im Umgang mit MengenlehreEs gibt eine Reihe von Operationen, um aus alten neue Sätze zu machen. Eine der häufigsten Mengenoperationen wird als Schnittpunkt bezeichnet. Einfach gesagt, der Schnittpunkt zweier Mengen EIN und B. ist die Menge aller Elemente, die beide EIN und B. gemeinsam haben.
Wir werden uns Details bezüglich des Schnittpunkts in der Mengenlehre ansehen. Wie wir sehen werden, ist das Schlüsselwort hier das Wort "und".
Ein Beispiel
Ein Beispiel dafür, wie der Schnittpunkt zweier Mengen a bildet neues SetBetrachten wir die Sets EIN = {1, 2, 3, 4, 5} und B. = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Um den Schnittpunkt dieser beiden Mengen zu finden, müssen wir herausfinden, welche Elemente sie gemeinsam haben. Die Zahlen 3, 4, 5 sind Elemente beider Mengen, daher die Schnittpunkte von EIN und B. ist {3. 4. 5].
Notation für Schnittpunkt
Neben dem Verständnis der Konzepte für Operationen der Mengenlehre ist es wichtig, Symbole lesen zu können, die zur Bezeichnung dieser Operationen verwendet werden. Das Symbol für die Kreuzung wird manchmal durch das Wort „und“ zwischen zwei Sätzen ersetzt. Dieses Wort schlägt die kompaktere Notation für eine Kreuzung vor, die normalerweise verwendet wird.
Das Symbol für den Schnittpunkt der beiden Mengen EIN und B. ist gegeben durch EIN ∩ B.. Eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, dass sich dieses Symbol ∩ auf einen Schnittpunkt bezieht, besteht darin, seine Ähnlichkeit mit einem Großbuchstaben A zu bemerken, das für das Wort "und" steht.
Um diese Notation in Aktion zu sehen, lesen Sie das obige Beispiel. Hier hatten wir die Sets EIN = {1, 2, 3, 4, 5} und B. = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Also würden wir die Mengengleichung schreiben EIN ∩ B. = {3, 4, 5}.
Schnittpunkt mit dem leeren Satz
Eine grundlegende Identität, die den Schnittpunkt betrifft, zeigt uns, was passiert, wenn wir den Schnittpunkt einer Menge mit der leeren Menge nehmen, die mit # 8709 bezeichnet ist. Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Wenn in mindestens einer der Mengen, deren Schnittpunkt wir suchen, keine Elemente vorhanden sind, haben die beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente. Mit anderen Worten, der Schnittpunkt einer beliebigen Menge mit das leere Set wird uns das leere Set geben.
Diese Identität wird durch die Verwendung unserer Notation noch kompakter. Wir haben die Identität: EIN ∩ ∅ = ∅.
Schnittpunkt mit dem Universal Set
Was passiert für das andere Extrem, wenn wir den Schnittpunkt einer Menge mit der universellen Menge untersuchen? Ähnlich wie das Wort Universum wird in der Astronomie verwendet, um alles zu bedeuten, die universelle Menge enthält jedes Element. Daraus folgt, dass jedes Element unserer Menge auch ein Element der universellen Menge ist. Somit ist der Schnittpunkt einer Menge mit der universellen Menge die Menge, mit der wir begonnen haben.
Wieder kommt unsere Notation zur Rettung, um diese Identität prägnanter auszudrücken. Für jeden Satz EIN und das universelle Set U., EIN ∩ U. = EIN.
Andere Identitäten, die den Schnittpunkt betreffen
Es gibt viel mehr Mengengleichungen, die die Verwendung der Schnittoperation beinhalten. Natürlich ist es immer gut zu trainieren mit der Sprache der Mengenlehre. Für alle Sets EIN, und B. und D. wir haben:
- Reflexive Eigenschaft: EIN ∩ EIN =EIN
- Kommutativgesetz: EIN ∩ B. = B. ∩ EIN
- Assoziatives Eigentum: (EIN ∩ B.) ∩ D. =EIN ∩ (B. ∩ D.)
- Verteilungseigenschaft: (EIN ∪ B.) ∩ D. = (EIN ∩ D.)∪ (B. ∩ D.)
- DeMorgans Gesetz I: (EIN ∩ B.)C. = EINC. ∪ B.C.
- DeMorgans Gesetz II: (EIN ∪ B.)C. = EINC. ∩ B.C.