Wahrscheinlichkeiten für das Würfeln von drei Würfeln

Würfel liefern großartige Illustrationen für Konzepte in der Wahrscheinlichkeit. Die am häufigsten verwendeten Würfel sind Würfel mit sechs Seiten. Hier sehen wir, wie man Wahrscheinlichkeiten für das Werfen von drei Standardwürfeln berechnet. Es ist ein relativ normales Problem, die Wahrscheinlichkeit der Summe zu berechnen, die durch erhalten wird zwei Würfel rollen. Es gibt insgesamt 36 verschiedene Würfe mit zwei Würfeln, wobei jede Summe von 2 bis 12 möglich ist.Wie ändert sich das Problem, wenn wir mehr Würfel hinzufügen?

So wie ein Würfel sechs Ergebnisse hat und zwei Würfel 6 haben² = 36 Ergebnisse, das Wahrscheinlichkeitsexperiment mit drei Würfeln hat 6³ = 216 Ergebnisse. Diese Idee verallgemeinert weiter für mehr Würfel. Wenn wir rollen n Würfel dann gibt es 6ⁿ Ergebnisse.

Wir können auch die möglichen Summen berücksichtigen, die sich aus dem Würfeln mehrerer Würfel ergeben. Die kleinstmögliche Summe ergibt sich, wenn alle Würfel die kleinsten oder jeweils einer sind. Dies ergibt eine Summe von drei, wenn wir drei Würfel werfen. Die größte Zahl auf einem Würfel ist sechs, was bedeutet, dass die größtmögliche Summe entsteht, wenn alle drei Würfel Sechser sind. Die Summe dieser Situation ist 18.

Wann n Würfel werden gewürfelt, die geringstmögliche Summe ist n und die größtmögliche Summe ist 6n.

• Es gibt eine Möglichkeit, wie drei Würfel insgesamt 3 ergeben können
• 3 Möglichkeiten für 4
• 6 für 5
• 10 für 6
• 15 für 7
• 21 für 8
• 25 für 9
• 27 für 10
• 27 für 11
• 25 für 12
• 21 für 13
• 15 für 14
• 10 für 15
• 6 für 16
• 3 für 17
• 1 für 18

Wie oben diskutiert, umfassen die möglichen Summen für drei Würfel jede Zahl von drei bis 18. Die Wahrscheinlichkeiten können mit berechnet werden Zählstrategien und zu erkennen, dass wir nach Möglichkeiten suchen, eine Zahl in genau drei ganze Zahlen zu unterteilen. Zum Beispiel ist der einzige Weg, eine Summe von drei zu erhalten, 3 = 1 + 1 + 1. Da jeder Würfel unabhängig von den anderen ist, kann eine Summe wie vier auf drei verschiedene Arten erhalten werden:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Weitere Zählargumente können verwendet werden, um die Anzahl der Arten der Bildung der anderen Summen zu ermitteln. Die Partitionen für jede Summe folgen:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Wenn drei verschiedene Zahlen die Partition bilden, z. B. 7 = 1 + 2 + 4, gibt es 3! (3x2x1) verschiedene Arten von permutieren diese Nummern. Dies würde also für drei Ergebnisse im Probenraum zählen. Wenn zwei verschiedene Zahlen die Partition bilden, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, diese Zahlen zu permutieren.

Wir teilen die Gesamtzahl der Wege, um jede Summe zu erhalten, durch die Gesamtzahl der Ergebnisse in der Probenraumoder 216. Die Ergebnisse sind:

• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 3: 1/216 = 0,5%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 4: 3/216 = 1,4%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 5: 6/216 = 2,8%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 6: 10/216 = 4,6%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 7: 15/216 = 7,0%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 8: 21/216 = 9,7%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 9: 25/216 = 11,6%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 10: 27/216 = 12,5%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 11: 27/216 = 12,5%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 12: 25/216 = 11,6%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 13: 21/216 = 9,7%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 14: 15/216 = 7,0%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 15: 10/216 = 4,6%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 16: 6/216 = 2,8%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 17: 3/216 = 1,4%
• Wahrscheinlichkeit einer Summe von 18: 1/216 = 0,5%

Wie zu sehen ist, sind die Extremwerte von 3 und 18 am unwahrscheinlichsten. Die Beträge, die genau in der Mitte liegen, sind am wahrscheinlichsten. Dies entspricht dem, was beobachtet wurde, als zwei Würfel gewürfelt wurden.