Chebyshevs Ungleichheit in der Wahrscheinlichkeit

Chebyshevs Ungleichung besagt, dass mindestens 1-1 /K.² Daten aus einer Stichprobe müssen innerhalb fallen K. Standardabweichungen vom Mittelwert (hier K. ist nicht positiv reelle Zahl größer als eins).

Jeder Datensatz, der normal verteilt ist oder die Form eines hat Glockenkurvehat mehrere Funktionen. Eine davon befasst sich mit der Streuung der Daten relativ zur Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert. Bei einer Normalverteilung wissen wir, dass 68% der Daten eine Standardabweichung vom Mittelwert sind, 95% zwei Standardabweichungen vom Mittelwert und ungefähr 99% liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Wenn der Datensatz jedoch nicht in Form einer Glockenkurve verteilt ist, kann ein anderer Betrag innerhalb einer Standardabweichung liegen. Die Ungleichung von Chebyshev bietet eine Möglichkeit zu erkennen, in welchen Teil der Daten fällt K. Standardabweichungen vom Mittelwert für irgendein Datensatz.

Wir können die obige Ungleichung auch angeben, indem wir den Ausdruck „Daten aus einer Stichprobe“ durch ersetzen

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Ungleichung ein Ergebnis ist, das mathematisch bewiesen wurde. Es ist nicht wie das empirische Beziehung zwischen Mittelwert und Modus oder Faustregel das verbindet den Bereich und die Standardabweichung.

Um die Ungleichung zu veranschaulichen, werden wir sie für einige Werte von betrachten K.:

• Zum K. = 2 wir haben 1 - 1 /K.² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Die Ungleichung von Chebyshev besagt also, dass mindestens 75% der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen.
• Zum K. = 3 wir haben 1 - 1 /K.² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Die Ungleichung von Chebyshev besagt also, dass mindestens 89% der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen.
• Zum K. = 4 wir haben 1 - 1 /K.² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Die Ungleichung von Chebyshev besagt also, dass mindestens 93,75% der Datenwerte einer Verteilung innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen müssen.

Angenommen, wir haben die Gewichte von Hunden im örtlichen Tierheim untersucht und festgestellt, dass unsere Stichprobe einen Mittelwert von 20 Pfund mit einer Standardabweichung von 3 Pfund aufweist. Durch die Verwendung der Ungleichung von Chebyshev wissen wir, dass mindestens 75% der von uns untersuchten Hunde Gewichte haben, die zwei Standardabweichungen vom Mittelwert sind. Die zweifache Standardabweichung ergibt 2 x 3 = 6. Subtrahieren und addieren Sie dies vom Mittelwert von 20. Dies sagt uns, dass 75% der Hunde ein Gewicht von 14 bis 26 Pfund haben.

Wenn wir mehr über die Verteilung wissen, mit der wir arbeiten, können wir normalerweise garantieren, dass mehr Daten eine bestimmte Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen. Wenn wir beispielsweise wissen, dass wir eine Normalverteilung haben, sind 95% der Daten zwei Standardabweichungen vom Mittelwert. Chebyshevs Ungleichung besagt, dass wir das in dieser Situation wissen mindestens 75% der Daten sind zwei Standardabweichungen vom Mittelwert. Wie wir in diesem Fall sehen können, könnte es viel mehr als diese 75% sein.

Der Wert der Ungleichung besteht darin, dass wir ein "Worst-Case" -Szenario erhalten, in dem das einzige, was wir über unsere Beispieldaten (oder die Wahrscheinlichkeitsverteilung) wissen, der Mittelwert und ist Standardabweichung. Wenn wir nichts anderes über unsere Daten wissen, bietet die Ungleichung von Chebyshev zusätzliche Einblicke in die Verteilung des Datensatzes.

Die Ungleichung ist nach dem russischen Mathematiker Pafnuty Chebyshev benannt, der die Ungleichung erstmals 1874 ohne Beweis feststellte. Zehn Jahre später wurde die Ungleichheit von Markov in seiner Doktorarbeit bewiesen. Dissertation. Aufgrund der unterschiedlichen Darstellung des russischen Alphabets in Englisch wird Chebyshev auch als Tchebysheff geschrieben.